Quelle différence entre effectif et fréquence ?

L'effectif est le nombre de fois où une valeur apparaît. La fréquence est la part que cet effectif représente dans le total : on la calcule en divisant l'effectif par l'effectif total, et on peut l'exprimer en fraction, en décimal ou en pourcentage.

Comment calcule-t-on la moyenne d'une série ?

On additionne toutes les valeurs de la série, puis on divise par le nombre de valeurs. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur : c'est un bon moyen de vérifier son calcul.

Comment construire un diagramme circulaire ?

L'angle total de 360° est partagé proportionnellement aux effectifs. Pour chaque valeur, l'angle vaut la fréquence multipliée par 360°.

Statistiques — BgMaths

Définitions

Définition 1 — série statistique et tableau d’effectifs. Une série statistique est l’ensemble des données recueillies lors d’une enquête. Les données brutes ne disent rien : on les organise dans un tableau d’effectifs. Exemple : on interroge 20 élèves sur leur pointure : $38\;;\;36\;;\;38\;;\;35\;;\;34\;;\;37\;;\;37\;;\;40\;;\;39\;;\;41\;;\;39\;;\;41\;;\;37\;;\;36\;;\;36\;;\;42\;;\;41\;;\;37\;;\;39\;;\;38$ , puis on range ces données :

Pointure	34	35	36	37	38	39	40	41	42
Effectif	1	1	3	4	3	3	1	3	1

Définition 2 — effectif et effectif total. L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série : il répond à la question « combien ? ». L’effectif total est la somme de tous les effectifs. Exemple : la pointure 37 a pour effectif 4 ; l’effectif total est $1+1+3+4+3+3+1+3+1 = 20$ .

Définition 3 — fréquence. La fréquence d’une valeur est la part de son effectif dans le total : elle répond à la question « quelle proportion ? ».

$f = \frac{n}{N} \qquad \text{ou en pourcentage} \qquad f = \frac{n}{N} \times 100$

Elle peut s’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. Exemple : la pointure 37 apparaît 4 fois sur 20 : $f = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%$ .

Définition 4 — moyenne simple. La moyenne d’une série est

$\bar{x} = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}$

C’est la valeur qu’aurait chaque donnée si le total était réparti équitablement. Exemple : pour $12\;;\;15\;;\;9\;;\;14\;;\;10$ : $\bar{x} = \dfrac{12+15+9+14+10}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$ .

Propriétés

Propriété 1 — somme des effectifs. La somme des effectifs de toutes les valeurs est égale à l’effectif total. Elle permet de retrouver un effectif manquant par soustraction. Exemple : sur 80 élèves, trois sports comptent 26, 15 et 23 pratiquants : le quatrième en compte $80 - (26 + 15 + 23) = 16$ .

Propriété 2 — somme des fréquences. La somme de toutes les fréquences d’une série vaut toujours $1$ , c’est-à-dire $100\,\%$ . C’est une vérification systématique : si tu ne trouves pas $100\,\%$ , il y a une erreur quelque part. Exemple : $32{,}5\,\% + 18{,}75\,\% + 28{,}75\,\% + 20\,\% = 100\,\%$ ✓

Propriété 3 — encadrement de la moyenne. La moyenne est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de la série. Exemple : pour la série $12\;;\;15\;;\;9\;;\;14\;;\;10$ , on contrôle $9 \leq 12 \leq 15$ ✓ : une moyenne de 17 serait forcément fausse.

Propriété 4 — angles d’un diagramme circulaire. Dans un diagramme circulaire, le disque entier représente l’effectif total, soit $360^\circ$ , et chaque secteur reçoit un angle proportionnel à l’effectif :

$\alpha = f \times 360^\circ$

Dans un diagramme semi-circulaire, le total à partager vaut $180^\circ$ : $\alpha = f \times 180^\circ$ . Exemple : une fréquence de $25\,\%$ correspond à $0{,}25 \times 360 = 90^\circ$ dans un diagramme circulaire, mais à $0{,}25 \times 180 = 45^\circ$ dans un semi-circulaire.

Propriété 5 — choisir la bonne représentation.

Objectif	Graphique adapté
Comparer des effectifs	diagramme en bâtons (hauteurs proportionnelles aux effectifs)
Montrer des parts d’un tout	diagramme circulaire
Suivre une évolution	graphique cartésien (points reliés dans un repère)

Exemple : pour comparer les sports pratiqués dans une classe, un diagramme en bâtons ; pour la température au fil de la journée, un graphique cartésien.

Méthodes

Méthode 1 — organiser des données brutes.

Repérer toutes les valeurs différentes de la série.
Compter l’effectif de chacune et remplir le tableau d’effectifs (Définition 1).
Vérifier que la somme des effectifs redonne le nombre de données (Propriété 1).

Exemple résolu : les 20 pointures de la Définition 1 donnent le tableau d’effectifs, et $1+1+3+4+3+3+1+3+1 = 20$ ✓.

Méthode 2 — calculer une fréquence.

Écrire la fraction $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ (Définition 3).
La simplifier, puis la convertir si besoin en nombre décimal ou en pourcentage.

Exemple résolu : 26 élèves sur 80 pratiquent le football : $f = \dfrac{26}{80} = 0{,}325 = 32{,}5\,\%$ .

Méthode 3 — compléter un tableau d’effectifs et de fréquences.

Retrouver un effectif manquant par soustraction (Propriété 1).
Calculer chaque fréquence (Méthode 2).
Contrôler que la somme des fréquences fait $100\,\%$ (Propriété 2).

Sport	Football	Tennis	Basket-ball	Athlétisme	Total
Effectif	26	15	23	16	80
Fréquence	$32{,}5\,\%$	$18{,}75\,\%$	$28{,}75\,\%$	$20\,\%$	$100\,\%$

Exemple résolu : l’effectif de l’athlétisme vaut $80 - (26+15+23) = 16$ , sa fréquence $\dfrac{16}{80} = 20\,\%$ , et le total des fréquences fait bien $100\,\%$ ✓.

Méthode 4 — calculer une moyenne simple.

Additionner toutes les valeurs de la série.
Diviser par le nombre de valeurs (Définition 4).
Contrôler que le résultat est compris entre la plus petite et la plus grande valeur (Propriété 3).

Exemple résolu : pour $12\;;\;15\;;\;9\;;\;14\;;\;10$ : somme $= 60$ , nombre de valeurs $= 5$ , moyenne $= 60 \div 5 = 12$ , et $9 \leq 12 \leq 15$ ✓. Avec un tableur, la formule =MOYENNE(A1:A5) donne directement le résultat, et le grapheur trace les diagrammes.

Méthode 5 — construire un diagramme circulaire.

Calculer la fréquence de chaque valeur (Méthode 2).
Multiplier chaque fréquence par $360^\circ$ — ou par $180^\circ$ pour un semi-circulaire (Propriété 4).
Vérifier que la somme des angles fait $360^\circ$ (ou $180^\circ$ ).

Sport	Fréquence	Angle
Football	$32{,}5\,\%$	$0{,}325 \times 360 = 117^\circ$
Tennis	$18{,}75\,\%$	$67{,}5^\circ$
Basket-ball	$28{,}75\,\%$	$103{,}5^\circ$
Athlétisme	$20\,\%$	$72^\circ$
Total	$100\,\%$	$\mathbf{360^\circ}$ ✓

Exemple résolu : l’angle du football vaut $\dfrac{26}{80} \times 360 = 117^\circ$ , et les quatre angles ont bien pour somme $360^\circ$ .

Pièges classiques

Un effectif n’est pas une fréquence. « 26 élèves pratiquent le football » est un effectif. Dire que la fréquence est $26\,\%$ est faux : il faut diviser par l’effectif total, $\dfrac{26}{80} = 32{,}5\,\%$ (Définition 3).

Lis les axes avant de conclure. Un diagramme dont l’axe vertical ne part pas de zéro exagère les écarts entre les barres. Avant de comparer, lis toujours les graduations des axes.

Semi-circulaire : on partage 180°. Une fréquence de $50\,\%$ y correspond à un angle de $90^\circ$ , et non de $180^\circ$ (Propriété 4).

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Méthodes

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