Comment lire les coordonnées d'un point dans un repère orthogonal ?

On lit d'abord l'abscisse sur l'axe horizontal, puis l'ordonnée sur l'axe vertical, et on écrit le couple dans cet ordre : $A(3\,;\,-2)$.

Qu'est-ce que la perspective cavalière ?

C'est une façon de dessiner un solide sur une feuille plane. Les arêtes cachées y sont tracées en pointillés, les faces de face gardent leur vraie forme, et les arêtes fuyantes sont dessinées parallèles entre elles.

Qu'est-ce qu'un patron ?

C'est la figure plane obtenue en dépliant la surface d'un solide. En la découpant et en la pliant le long des arêtes, on reconstruit le solide sans superposition ni manque.

Solides et repérage

Définitions

Définition 1 — abscisse sur une droite graduée. Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un seul nombre : son abscisse. Exemple : pour placer une fraction comme $\dfrac{5}{4}$ , il est souvent plus simple de la convertir d’abord en écriture décimale : $\dfrac{5}{4} = 1{,}25$ .

Définition 2 — repère orthogonal et coordonnées. Un repère orthogonal est formé de deux axes gradués perpendiculaires qui se coupent en l’origine $O$ . Chaque point y est repéré par un couple de coordonnées : l’abscisse, lue sur l’axe horizontal et toujours écrite en premier, puis l’ordonnée, lue sur l’axe vertical. Exemple : $A(3\,;\,-2)$ a pour abscisse $3$ et pour ordonnée $-2$ . L’ordre compte : $A(3\,;\,-2)$ et $A'(-2\,;\,3)$ sont deux points différents.

Définition 3 — pavé droit et cube. Un pavé droit est un solide dont les 6 faces sont des rectangles ; il possède 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Un cube est un pavé droit dont les 6 faces sont des carrés : toutes ses arêtes ont la même longueur. Exemple : une brique est un pavé droit, un dé est un cube.

Définition 4 — prisme droit. Un prisme droit a deux bases : des polygones identiques et parallèles, reliés par des faces latérales rectangulaires. Exemple : une tente canadienne est un prisme droit à base triangulaire : 5 faces (2 triangles et 3 rectangles), 9 arêtes, 6 sommets.

Définition 5 — cylindre de révolution. Un cylindre de révolution a deux bases : des disques identiques et parallèles, reliés par une surface latérale enroulée. Exemple : une boîte de conserve est un cylindre.

Définition 6 — perspective cavalière. La perspective cavalière est la manière conventionnelle de dessiner un solide de l’espace sur une feuille plane. Exemple : sur la représentation d’un pavé droit, la face avant est dessinée en vraie grandeur et les arêtes cachées en pointillés (Propriété 3).

Définition 7 — patron d’un solide. Un patron est la figure plane obtenue en dépliant la surface d’un solide. Découpé puis plié le long des arêtes, il reconstitue le solide, sans manque ni superposition. Exemple : un patron de cube est formé de 6 carrés ; il existe 11 patrons différents du cube.

Propriétés

Propriété 1 — lire des coordonnées. Dans un couple de coordonnées, l’abscisse se lit toujours en premier. Les signes donnent la position : abscisse positive → à droite de l’axe vertical, négative → à gauche ; ordonnée positive → au-dessus de l’axe horizontal, négative → en dessous.

Point	Abscisse	Ordonnée	Position
$A(3\,;\,-2)$	$3 > 0$	$-2 < 0$	à droite, en dessous
$B(-4\,;\,1)$	$-4 < 0$	$1 > 0$	à gauche, au-dessus
$C(0\,;\,5)$	$0$	$5$	sur l’axe vertical

Propriété 2 — faces, arêtes et sommets. Pour un prisme droit dont la base a $n$ côtés : $n + 2$ faces (les 2 bases et $n$ rectangles), $3n$ arêtes et $2n$ sommets. Le pavé droit et le cube suivent la même règle avec $n = 4$ : 6 faces, 12 arêtes, 8 sommets. Exemple : base pentagonale ( $n = 5$ ) : $7$ faces, $15$ arêtes, $10$ sommets.

Propriété 3 — règles de la perspective cavalière.

Règle	Détail
Faces de face	dessinées en vraie grandeur
Arêtes fuyantes	parallèles entre elles, raccourcies
Arêtes cachées	tracées en pointillés
Parallélisme	conservé
Angles droits	non conservés sur les fuyantes

Conséquence : on ne mesure jamais sur une perspective cavalière — on raisonne à partir des propriétés du solide.

Propriété 4 — patrons des solides usuels. Patron du pavé droit : six rectangles, deux à deux identiques. Patron du prisme droit : les deux bases et autant de rectangles que la base a de côtés, leur largeur étant la hauteur du prisme. Patron du cylindre : deux disques de rayon $r$ et un rectangle de longueur $2\pi r$ (le périmètre du disque, pour s’enrouler exactement autour) et de largeur $h$ (la hauteur). Exemple : pour $r = 3$ cm et $h = 10$ cm, le rectangle mesure $2\pi \times 3 \approx 18{,}8$ cm de long sur 10 cm de large.

Méthodes

Méthode 1 — placer et lire des points dans un repère.

Lire (ou reporter) l’abscisse sur l’axe horizontal.
Lire (ou reporter) l’ordonnée sur l’axe vertical.
Écrire le couple dans cet ordre : $A(x\,;\,y)$ (Propriété 1).

Exemple résolu : $B(-4\,;\,1)$ : l’abscisse $-4$ est négative, donc $B$ est à gauche de l’axe vertical ; l’ordonnée $1$ est positive, donc il est au-dessus de l’axe horizontal.

Méthode 2 — compléter un parallélogramme dans un repère. Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme, le déplacement de $B$ vers $C$ doit être le même que celui de $A$ vers $D$ .

Compter le déplacement de $B$ à $C$ (combien vers la droite, combien vers le haut).
Appliquer le même déplacement à partir de $A$ pour placer $D$ .
Vérifier que les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.

Exemple résolu : $A(1\,;\,1)$ , $B(5\,;\,1)$ , $C(6\,;\,4)$ : de $B$ à $C$ , on avance de $+1$ et on monte de $+3$ , donc $D(1 + 1\,;\,1 + 3) = D(2\,;\,4)$ .

Méthode 3 — dessiner en perspective cavalière. Pour un pavé droit :

Tracer la face avant en vraie grandeur.
Tracer les fuyantes, parallèles et de même longueur réduite.
Fermer la face arrière.
Repasser en pointillés les trois arêtes cachées (Propriété 3).

Pour un cylindre : deux ellipses identiques — le cercle vu de biais — reliées par deux segments parallèles.

Méthode 4 — construire ou reconnaître un patron.

Compter les faces : elles doivent toutes figurer sur le patron, sans doublon (Propriété 4).
Vérifier les dimensions : les côtés qui se recollent doivent avoir la même longueur.
Pour un cube : six carrés, jamais plus de quatre alignés, et deux faces opposées jamais voisines.
Pour un cylindre : la longueur du rectangle doit valoir le périmètre du disque, $2\pi r$ .

Exemple résolu : cylindre de rayon 2 cm : la longueur du rectangle vaut $2\pi \times 2 = 4\pi \approx 12{,}6$ cm ; un rectangle de 10 cm ne conviendrait pas.

Méthode 5 — dénombrer les cubes d’un empilement. Un empilement de cubes se décrit par ses vues : de face, de dessus, de côté.

Partir de la vue de dessus : chaque case correspond à une pile.
Noter la hauteur de chaque pile.
Additionner toutes les hauteurs — sans oublier les cubes cachés derrière ceux du premier plan.

Exemple résolu : vue de dessus en carré $2 \times 2$ , piles de hauteurs 3, 1, 2 et 2 : l’empilement compte $3 + 1 + 2 + 2 = 8$ cubes.

Pièges classiques

Un dessin en perspective n’est pas une figure en vraie grandeur. Sur la représentation d’un cube, les faces latérales apparaissent comme des parallélogrammes et les arêtes fuyantes semblent plus courtes ; pourtant toutes les arêtes du cube ont la même longueur et toutes ses faces sont des carrés (Propriété 3). On ne mesure jamais sur une perspective cavalière.
L’ordre des coordonnées compte. L’abscisse se lit en premier, sur l’axe horizontal (Propriété 1) : $A(3\,;\,-2)$ et $A'(-2\,;\,3)$ sont deux points différents.
La longueur du rectangle d’un patron de cylindre n’est pas le diamètre. Elle vaut le périmètre du disque, $2\pi r$ : le rectangle doit faire tout le tour de la base (Propriété 4).

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Méthodes

Pièges classiques

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