Que signifie la notation a² ?

$a^2$ se lit « a au carré » et désigne le produit $a \times a$. Par exemple $7^2 = 7 \times 7 = 49$. C'est l'aire d'un carré de côté $a$, d'où son nom.

Quelle différence entre 2³ et 3² ?

$2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ alors que $3^2 = 3 \times 3 = 9$. Le nombre en bas (la base) est celui que l'on multiplie, le petit nombre en haut (l'exposant) indique combien de fois.

Dans quel ordre calculer 3 + 4² ?

La puissance se calcule avant l'addition et avant la multiplication : $3 + 4^2 = 3 + 16 = 19$. De même $2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50$, et non $10^2 = 100$.

Puissances : carrés et cubes

Définitions

Définition 1 — le carré d’un nombre. Multiplier un nombre par lui-même, c’est l’élever au carré :

$a^2 = a \times a$

Le nombre $a$ est la base, le petit 2 en haut est l’exposant. Exemple : $7^2 = 7 \times 7 = 49$ ; $0{,}5^2 = 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$ .

Définition 2 — le cube d’un nombre. Multiplier trois facteurs égaux, c’est élever au cube :

$a^3 = a \times a \times a$

Exemple : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ; $3^3 = 27$ ; $4^3 = 64$ ; $5^3 = 125$ .

Propriétés

Propriété 1 — aire du carré et volume du cube. L’aire d’un carré de côté $c$ vaut $c^2$ ; le volume d’un cube d’arête $c$ vaut $c^3$ . C’est de là que viennent les noms « carré » et « cube ». Exemple : un carré de côté 7 a pour aire $7^2 = 49$ ; un cube d’arête 4 cm a pour volume $4^3 = 64$ cm³.

Propriété 2 — les carrés des entiers de 0 à 12. Ils sont à connaître par cœur :

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
$n^2$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144

Ce sont les nombres de la diagonale des tables de multiplication. Exemple : 81 est un carré ( $9^2$ ) ; 50 n’en est pas un, car il est entre $7^2 = 49$ et $8^2 = 64$ .

Propriété 3 — les puissances de 10. $10^2 = 100$ et $10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\,000$ : un 1 suivi d’autant de zéros que l’exposant. On les retrouve dans les conversions. Exemple : $1\ \text{dm}^3 = 10^3\ \text{cm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3$ et $1\ \text{m}^2 = 10^2\ \text{dm}^2 = 100\ \text{dm}^2$ .

Propriété 4 — priorité de la puissance. Dans un calcul, on effectue d’abord ce qui est entre parenthèses, puis les puissances, puis les multiplications, et enfin les additions et soustractions. Exemple : $2 \times 5^2 = 2 \times 25 = 50$ , et non $10^2 = 100$ : le carré porte sur 5 seulement. Pour élever $2 \times 5$ au carré, il faudrait écrire $(2 \times 5)^2$ .

Méthodes

Méthode 1 — calculer un carré ou un cube.

Réécrire la puissance comme un produit : $a^2 = a \times a$ , $a^3 = a \times a \times a$ (Définitions 1 et 2).
Effectuer le produit, y compris avec des nombres décimaux.

Exemple résolu : $1{,}5^2 = 1{,}5 \times 1{,}5 = 2{,}25$ ; $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$ . En cas d’hésitation, toujours repasser par le produit.

Méthode 2 — passer du produit à la puissance et inversement.

Produit → puissance : repérer le facteur qui se répète (la base) et compter les facteurs (l’exposant).
Puissance → valeur, ou nombre → puissance : s’appuyer sur la liste des carrés (Propriété 2) et les cubes usuels.

Produit	Écriture	Valeur
$5 \times 5 \times 5$	$5^3$	$125$
$9 \times 9$	$9^2$	$81$
$1{,}5 \times 1{,}5$	$1{,}5^2$	$2{,}25$

Exemple résolu : dans l’autre sens, $49 = 7^2$ , $1\,000 = 10^3$ , et $64 = 8^2 = 4^3$ .

Méthode 3 — calculer une expression avec une puissance.

Calculer d’abord ce qui est entre parenthèses.
Calculer la puissance (Propriété 4).
Effectuer les multiplications, puis les additions et soustractions.

Expression	Étape 1 : la puissance	Résultat
$3 + 4^2$	$3 + 16$	$19$
$2 \times 5^2$	$2 \times 25$	$50$
$10^2 - 3^2$	$100 - 9$	$91$
$(3 + 4)^2$	$7^2$	$49$

Exemple résolu : $3 + 4^2 = 3 + 16 = 19$ — le résultat 49 correspondrait à $(3+4)^2$ .

Méthode 4 — calculer une expression littérale.

Remplacer la lettre par sa valeur.
Commencer par la puissance, puis suivre les priorités (Méthode 3).

Exemple résolu : pour $x = 3$ , $2x^2 + 1 = 2 \times 3^2 + 1 = 2 \times 9 + 1 = 19$ . Autres exemples : aire d’un carré de côté $c = 6$ cm : $c^2 = 36$ cm² ; volume d’un cube d’arête $c = 4$ cm : $c^3 = 64$ cm³ (Propriété 1).

Pièges classiques

L’exposant n’est pas un facteur. $4^2 = 4 \times 4 = 16$ , et non $4 \times 2 = 8$ ; $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ , et non $2 \times 3 = 6$ — ni $3^2 = 9$ . Quand tu hésites, réécris la puissance comme un produit avant de calculer (Méthode 1).

Le carré porte sur ce qui le précède immédiatement. $2 \times 5^2 = 50$ et non $100$ : seul le 5 est élevé au carré. Pour élever $2 \times 5$ au carré, il faut des parenthèses : $(2 \times 5)^2 = 100$ (Propriété 4).

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Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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