Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?

Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre. Le côté et le périmètre d'un carré sont proportionnels ; le côté et l'aire ne le sont pas.

Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?

On place les couples de valeurs comme des points dans un repère. La situation est proportionnelle si et seulement si tous les points sont alignés sur une droite qui passe par l'origine. Des points alignés sur une droite qui ne passe pas par l'origine ne correspondent pas à une proportionnalité.

Comment utiliser une échelle ?

Une échelle 1:10 signifie que 1 unité sur le plan représente 10 unités en réalité. Pour passer du plan à la réalité on multiplie par 10, et pour l'inverse on divise par 10.

Proportionnalité et pourcentages

Définitions

Définition 1 — grandeurs proportionnelles. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on obtient les valeurs de l’une en multipliant celles de l’autre toujours par le même nombre non nul, appelé coefficient de proportionnalité.

Proportionnel	Non proportionnel
Côté et périmètre d’un carré ( $P = 4c$ )	Côté et aire d’un carré ( $\mathcal{A} = c^2$ )
Diamètre et longueur d’un cercle	Âge et taille d’une personne
Masse et prix d’une denrée	Nombre de personnes et durée d’un travail

Exemple : côté $\times 2$ → périmètre $\times 2$ : proportionnel ; côté $\times 2$ → aire $\times 4$ : non proportionnel.

Définition 2 — tableau de proportionnalité. Un tableau de nombres est un tableau de proportionnalité lorsque tous les quotients d’une ligne par l’autre sont égaux : ce quotient commun est le coefficient de proportionnalité.

Masse (kg)	$2$	$5$	$8$
Prix (€)	$4{,}80$	$12$	$19{,}20$

Exemple : $\dfrac{4{,}80}{2} = \dfrac{12}{5} = \dfrac{19{,}20}{8} = 2{,}40$ : le coefficient vaut $2{,}40$ , c’est le prix d’un kilogramme.

Définition 3 — pourcentage. Un pourcentage est une proportion rapportée à 100. Prendre $t\,\%$ d’une quantité $N$ , c’est calculer $\dfrac{t}{100} \times N$ . Exemple : $25\,\%$ de 480, c’est $\dfrac{25}{100} \times 480 = \dfrac{480}{4} = 120$ .

Définition 4 — échelle. L’échelle d’un plan ou d’une carte est le quotient $\dfrac{\text{distance sur le plan}}{\text{distance réelle}}$ , les deux distances étant exprimées dans la même unité. Exemple : une échelle 1:10 signifie que 1 cm sur le plan représente 10 cm en réalité : l’objet réel est 10 fois plus grand que le dessin.

Propriétés

Propriété 1 — coefficient de proportionnalité. Si deux grandeurs sont proportionnelles, on passe de la valeur $x$ à la valeur $y$ par $y = k \times x$ , et le coefficient se retrouve par le quotient $k = \dfrac{y}{x}$ . Exemple : 5 kg de pommes coûtent 12 € : $k = 12 \div 5 = 2{,}40$ € par kg, donc 8 kg coûtent $8 \times 2{,}40 = 19{,}20$ €.

Propriété 2 — reconnaissance graphique. Une situation est proportionnelle si et seulement si les points qui la représentent sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

Nuage de points	Proportionnel ?
alignés, sur une droite passant par l’origine	oui
alignés, mais la droite évite l’origine	non
non alignés	non

Exemple : les points (masse ; prix) des pommes ci-dessous sont alignés avec l’origine ; ceux d’un taxi à 4 € de prise en charge plus 2 € par kilomètre sont alignés, mais 0 km coûte déjà 4 € : ce n’est pas une proportionnalité.

Propriété 3 — linéarité (additivité et homogénéité). Dans une situation de proportionnalité : si une grandeur est multipliée par un nombre, l’autre l’est aussi (homogénéité) ; et les valeurs s’additionnent (additivité) : le prix de $5 + 3$ kg est le prix de 5 kg plus celui de 3 kg. Exemple : 5 kg coûtent 12 € et 3 kg coûtent $7{,}20$ € ; comme $8 = 5 + 3$ , 8 kg coûtent $12 + 7{,}20 = 19{,}20$ €. Ou encore : $8 = 5 \times 1{,}6$ , donc le prix vaut $12 \times 1{,}6 = 19{,}20$ €.

Propriété 4 — les coefficients de la vie courante. Le coefficient de proportionnalité porte souvent un nom :

Situation	Coefficient	Exemple
masse → prix	prix unitaire	$2{,}40$ € par kg
durée → distance	vitesse moyenne	150 km en 2 h : $150 \div 2 = 75$ km/h
plan → réalité	échelle	1 cm pour 2 km

Exemple : une vitesse moyenne de 75 km/h signifie 75 km parcourus par heure : en 3 h, on parcourt $3 \times 75 = 225$ km ; pour 300 km, il faut $300 \div 75 = 4$ h.

Méthodes

Méthode 1 — passer par l’unité.

Calculer la valeur correspondant à une unité (1 kg, 1 article, 1 h…) par une division.
Multiplier par le nombre d’unités demandé.

Exemple résolu : 5 kg de pommes coûtent 12 €, combien coûtent 8 kg ? 1 kg coûte $12 \div 5 = 2{,}40$ €, donc 8 kg coûtent $8 \times 2{,}40 = 19{,}20$ €. C’est la procédure la plus sûre quand on hésite.

Méthode 2 — utiliser le coefficient de proportionnalité.

Calculer le coefficient $k$ par un quotient (Propriété 1).
Multiplier par $k$ pour compléter le tableau dans un sens, diviser par $k$ dans l’autre sens.

Exemple résolu : une voiture parcourt 150 km en 2 h. Son coefficient durée → distance est la vitesse moyenne : $k = 150 \div 2 = 75$ km/h. En 3 h, elle parcourt donc $3 \times 75 = 225$ km.

Méthode 3 — reconnaître une situation de proportionnalité.

Dans un tableau : calculer tous les quotients d’une ligne par l’autre ; ils doivent être tous égaux (Définition 2).
Test rapide du double : si je double une grandeur, l’autre double-t-elle aussi ?
Sur un graphique : vérifier que les points sont alignés et que la droite passe par l’origine (Propriété 2).

Exemple résolu : pour les pommes, $4{,}80 \div 2 = 12 \div 5 = 19{,}20 \div 8 = 2{,}40$ : proportionnel. Pour le carré, côté $\times 2$ → aire $\times 4$ : non proportionnel. Attention : des prix qui augmentent ne suffisent pas à conclure.

Méthode 4 — appliquer un pourcentage.

Pour prendre $t\,\%$ d’une quantité, la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ (Définition 3).
Pour une remise, soustraire le montant obtenu ; pour une augmentation, l’ajouter.
Connaître les raccourcis : $10\,\%$ = diviser par 10 ; $25\,\%$ = diviser par 4 ; $50\,\%$ = diviser par 2 ; $75\,\%$ = les trois quarts.

Exemple résolu : un article à 80 € est soldé à $-25\,\%$ . La remise vaut $\dfrac{25}{100} \times 80 = 20$ €, donc le nouveau prix est $80 - 20 = 60$ €.

Méthode 5 — déterminer un pourcentage.

Écrire la proportion en fraction : $\dfrac{\text{partie}}{\text{total}}$ .
La transformer en fraction de dénominateur 100 (ou diviser, puis multiplier par 100).

Exemple résolu : 24 élèves ont voté et Alexis a obtenu 6 voix : $\dfrac{6}{24} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}$ , soit $25\,\%$ . Le tableau voix → pourcentages est un tableau de proportionnalité (coefficient $\dfrac{100}{24}$ ), et le total des pourcentages doit faire $100\,\%$ .

Candidat	Alexis	Chloé	Salma	Djibril	Total
Voix	6	12	3	3	24
Pourcentage	$25\,\%$	$50\,\%$	$12{,}5\,\%$	$12{,}5\,\%$	$100\,\%$

Méthode 6 — travailler avec une échelle.

Du plan vers la réalité : multiplier par le nombre de l’échelle ; de la réalité vers le plan : diviser.
Pour déterminer une échelle : convertir les deux longueurs dans la même unité, écrire le quotient $\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}$ et le simplifier (Définition 4).

Exemple résolu : sur une carte au 1:200 000, 4 cm représentent $4 \times 200\,000 = 800\,000$ cm $= 8$ km. Une maquette de 15 cm pour un objet réel de 3 m : $\dfrac{15\ \text{cm}}{300\ \text{cm}} = \dfrac{1}{20}$ , soit une échelle 1:20.

Pièges classiques

Un pourcentage n’est pas un montant. « $25\,\%$ de remise » ne veut pas dire « 25 € de moins » : sur 80 € la remise vaut 20 €, sur 200 € elle vaut 50 €. Un pourcentage se rapporte toujours à une quantité de référence, qu’il faut identifier avant de calculer (Définition 3).

Des points alignés ne suffisent pas. Les points du taxi sont alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : ce n’est pas une proportionnalité (Propriété 2).

« Ça augmente » ne suffit pas non plus. Des prix qui augmentent avec la masse ne prouvent rien : il faut vérifier que les quotients sont tous égaux (Méthode 3).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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