Comment calcule-t-on une probabilité en 5ème ?

Dans une situation d'équiprobabilité, c'est-à-dire lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire, la probabilité d'un événement est le nombre d'issues favorables divisé par le nombre total d'issues.

Entre quelles valeurs se situe une probabilité ?

Toujours entre 0 et 1. Une probabilité de 0 correspond à un événement impossible, une probabilité de 1 à un événement certain.

Fréquence et probabilité, est-ce la même chose ?

Non. La probabilité est un nombre théorique attaché au modèle, par exemple $\frac{1}{6}$ pour obtenir 6 avec un dé équilibré. La fréquence est ce que l'on observe en répétant l'expérience : effectif de l'issue divisé par le nombre de répétitions. Elle varie d'une série de lancers à l'autre, mais se rapproche de la probabilité quand le nombre de répétitions devient grand.

Probabilités — BgMaths

Définitions

Définition 1 — expérience aléatoire, issue, événement. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, sans pouvoir prévoir lequel se produira. Chaque résultat possible est une issue ; un événement est constitué d’une ou plusieurs issues.

Mot	Définition	Exemple (lancer d’un dé)
Issue	un résultat possible	obtenir 4
Événement	une ou plusieurs issues	« obtenir un nombre pair »
Probabilité	la chance qu’un événement se réalise	$\dfrac{1}{2}$ pour « pair »

Exemple : pour le lancer d’un dé, « obtenir 4 » est une issue ; « obtenir un nombre pair » est un événement, formé des trois issues 2, 4 et 6.

Définition 2 — probabilité. La probabilité d’un événement est un nombre qui mesure sa chance de se réaliser. On peut l’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. Exemple : $P(\text{pair}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%$ pour un dé équilibré ; « une chance sur quatre » se traduit par la probabilité $\dfrac{1}{4}$ .

Définition 3 — équiprobabilité. Il y a équiprobabilité lorsque toutes les issues ont exactement la même chance de se produire. Les énoncés le signalent toujours, par des mots comme « équilibré », « bien équilibré » ou « indiscernables au toucher ».

Équiprobable	Non équiprobable
Un dé équilibré	Un dé pipé
Une pièce équilibrée	Une punaise lancée en l’air
Des boules indiscernables au toucher	Des boules de tailles différentes

Exemple : les six faces d’un dé équilibré ont chacune la probabilité $\dfrac{1}{6}$ .

Définition 4 — fréquence observée. Quand on répète réellement une expérience aléatoire, la fréquence observée d’une issue est

$\text{fréquence} = \frac{\text{effectif de l'issue}}{\text{nombre de répétitions}}$

Exemple : sur 50 lancers d’un dé, le 6 sort 9 fois : sa fréquence observée est $\dfrac{9}{50} = 0{,}18$ .

Propriétés

Propriété 1 — l’échelle de probabilité. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Un événement impossible a une probabilité de $0$ , un événement certain une probabilité de $1$ ; aucune probabilité ne peut sortir de cet intervalle.

$0$	$\;$	$\dfrac{1}{2}$	$\;$	$1$
impossible	peu probable	une chance sur deux	probable	certain
$0\,\%$		$50\,\%$		$100\,\%$

Exemple : « obtenir 7 avec un dé à 6 faces » est impossible : probabilité $0$ . « Le soleil se lève demain » est certain : probabilité $1$ .

Propriété 2 — calcul en situation d’équiprobabilité. Lorsque toutes les issues ont la même chance de se produire :

$P(\text{événement}) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemple : « obtenir un nombre pair » avec un dé équilibré : 3 issues favorables (2, 4, 6) sur 6 au total : $P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ .

Propriété 3 — somme des probabilités des issues. La somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience aléatoire vaut toujours $1$ . Exemple : pour un dé équilibré à 6 faces, $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$ .

Propriété 4 — fréquences et probabilité. La probabilité vient du modèle et ne change pas ; la fréquence observée vient de l’expérience réalisée et varie d’une série à l’autre. Plus le nombre de répétitions est grand, plus les fréquences observées se rapprochent des probabilités, sans leur être exactement égales.

	Fréquence	Probabilité
D’où vient-elle ?	de l’expérience réalisée	du modèle (équiprobabilité)
Change-t-elle ?	oui, à chaque nouvelle série	non

Exemple : sur 200 lancers d’une pièce équilibrée, obtenir 92 piles (fréquence $0{,}46$ , proche de $0{,}5$ ) n’a rien de surprenant — et la probabilité de pile reste $\dfrac{1}{2}$ .

Méthodes

Méthode 1 — placer un événement sur l’échelle de probabilité.

Se demander si l’événement est impossible (probabilité 0), certain (probabilité 1), ou entre les deux.
S’il est entre les deux, le comparer aux repères $0$ , $\dfrac{1}{2}$ et $1$ , en calculant sa probabilité quand c’est possible (Propriété 2).

Exemple résolu : « obtenir 10 fois de suite un 6 avec un dé » se place tout près de 0 ; « obtenir un 6 » en $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ ; « obtenir pile » exactement en $\dfrac{1}{2}$ ; « ne pas gagner la cagnotte du Loto » tout près de 1 ; « le soleil se lève demain » en 1.

Méthode 2 — calculer une probabilité.

Vérifier que la situation est équiprobable : « équilibré », « indiscernables au toucher » (Définition 3).
Compter le nombre total d’issues.
Compter les issues favorables à l’événement.
Écrire la fraction $\dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}$ et la simplifier (Propriété 2).

Exemple résolu : une urne contient 3 boules vertes et 4 jaunes, indiscernables au toucher. Total : $3 + 4 = 7$ issues ; favorables : 3. Donc $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{7}$ — et non $\dfrac{3}{4}$ .

Méthode 3 — passer d’une écriture à l’autre.

Fraction → décimal : effectuer la division.
Décimal → pourcentage : multiplier par 100.
« Une chance sur $n$ » se traduit par la probabilité $\dfrac{1}{n}$ .

Exemple résolu : $P = \dfrac{1}{4} = 1 \div 4 = 0{,}25 = 25\,\%$ : c’est « une chance sur quatre ».

Méthode 4 — répéter une expérience et dresser le tableau des fréquences.

Répéter l’expérience et noter chaque résultat dans un tableau d’effectifs.
Calculer la fréquence de chaque issue : effectif ÷ nombre de répétitions (Définition 4).
Vérifier que la somme des fréquences vaut 1.
Comparer les fréquences aux probabilités du modèle (Propriété 4) : proches, mais pas forcément égales.

Face	1	2	3	4	5	6	Total
Effectif	8	7	10	9	7	9	50
Fréquence	$0{,}16$	$0{,}14$	$0{,}20$	$0{,}18$	$0{,}14$	$0{,}18$	$1$

Exemple résolu : sur 50 lancers d’un dé, le 6 sort 9 fois : fréquence $\dfrac{9}{50} = 0{,}18$ , proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ . Une autre série de 50 lancers donnerait d’autres fréquences.

Pièges classiques

Le hasard n’a pas de mémoire. Une pièce équilibrée est tombée 4 fois de suite sur pile : beaucoup pensent que face « est due ». C’est faux : la pièce ne se souvient de rien, la probabilité d’obtenir pile au cinquième lancer reste $\dfrac{1}{2}$ (Propriété 4 : la probabilité ne change pas).

Le dénominateur est le nombre total d’issues. Dans une urne de 3 boules vertes et 4 jaunes, $P(\text{verte}) = \dfrac{3}{7}$ — et non $\dfrac{3}{4}$ : on divise par le nombre total de boules, jamais par le nombre de boules de l’autre couleur (Méthode 2).

Fréquence n’est pas probabilité. Obtenir 92 piles sur 200 lancers (fréquence $0{,}46$ ) ne rend pas la pièce truquée et ne change pas la probabilité, qui reste $0{,}5$ (Propriété 4).

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