Que signifie « exprimer une grandeur en fonction d'une autre » ?

Cela signifie écrire une formule qui permet de calculer la première grandeur dès que l'on connaît la seconde. Par exemple, l'aire d'un carré exprimée en fonction de son côté $c$ s'écrit $\mathcal{A} = c^2$.

Comment passer d'un tableau de valeurs à un graphique ?

Chaque colonne du tableau donne un point : la valeur de la première ligne est l'abscisse, celle de la seconde ligne l'ordonnée. On place ces points dans un repère orthogonal ; on obtient un nuage de points, que l'on peut parfois relier par une courbe.

Une fonction est-elle toujours une situation de proportionnalité ?

Non. Toute proportionnalité est une dépendance, mais beaucoup de dépendances ne sont pas proportionnelles. L'aire d'un carré dépend de son côté sans lui être proportionnelle.

Notion de fonction

Définitions

Définition 1 — dépendance entre deux grandeurs. Deux grandeurs sont liées par une relation de dépendance lorsque la valeur de l’une détermine celle de l’autre. On dit que la seconde varie en fonction de la première : cette expression est le point d’entrée du chapitre.

Si je connais…	…alors je connais
le côté d’un carré	son aire et son périmètre
le nombre de kilomètres	le prix de la course de taxi
la vitesse d’une voiture	sa distance de freinage
la hauteur d’un cylindre	son volume

Exemple : l’aire d’un carré dépend de son côté : elle varie en fonction du côté.

Définition 2 — formule. Une formule exprime une grandeur en fonction d’une autre : c’est la recette de calcul, donnée une fois pour toutes à l’aide d’une lettre. On choisit en général l’initiale de la grandeur : $c$ pour côté, $h$ pour hauteur, $n$ pour nombre. Exemple : aire d’un carré de côté $c$ : $\mathcal{A} = c \times c = c^2$ ; périmètre : $P = 4c$ ; volume d’un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur $h$ : l’aire de la base vaut $\pi \times 3^2 = 9\pi$ , donc $V = 9\pi h$ .

Définition 3 — tableau de valeurs. Un tableau de valeurs rassemble plusieurs couples de valeurs correspondantes. On le remplit en substituant chaque valeur de la première ligne dans la formule, et il se lit dans les deux sens.

Côté $c$ (cm)	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$10$
Aire $\mathcal{A}$ (cm²)	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$100$

Exemple : pour le taxi $p = 2k + 4$ , le tableau donne $4$ , $6$ , $14$ , $18$ , $24$ € pour $0$ , $1$ , $5$ , $7$ , $10$ km. La colonne $k = 0$ est instructive : même sans rouler, la course coûte 4 € — c’est la prise en charge.

Définition 4 — graphique et nuage de points. Chaque colonne d’un tableau de valeurs donne un point : l’abscisse est la valeur de départ, l’ordonnée la valeur calculée. Placés dans un repère orthogonal, ces points forment un nuage de points, que l’on peut parfois relier par une courbe. Exemple : pour $c = 3$ et $\mathcal{A} = 9$ , on place le point de coordonnées $(3\,;\,9)$ .

Propriétés

Propriété 1 — une formule se calcule par substitution. Pour calculer la valeur donnée par une formule, on remplace la lettre par sa valeur, puis on respecte les priorités opératoires : puissances d’abord, multiplications ensuite, additions et soustractions en dernier. Exemple : taxi $p = 2k + 4$ pour $k = 7$ : $p = 2 \times 7 + 4 = 14 + 4 = 18$ €.

Propriété 2 — caractérisation graphique de la proportionnalité. Une situation est proportionnelle si et seulement si ses points sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère. Exemple : les points de $P = 4c$ sont alignés avec l’origine ; ceux de $\mathcal{A} = c^2$ montent de plus en plus vite et ne sont pas alignés ; ceux du taxi sont alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine.

Propriété 3 — dépendance n’est pas proportionnalité. Toute situation de proportionnalité est une dépendance, mais l’inverse est faux : beaucoup de dépendances ne sont pas proportionnelles. C’est la distinction essentielle du chapitre.

Situation	Formule	Proportionnel ?
Périmètre d’un carré	$P = 4c$	oui — on multiplie toujours par 4
Aire d’un carré	$\mathcal{A} = c^2$	non
Longueur d’un cercle	$L = \pi d$	oui
Prix du taxi	$p = 2k + 4$	non — à cause du $+4$

Exemple : l’aire d’un carré dépend de son côté sans lui être proportionnelle.

Méthodes

Méthode 1 — produire une formule.

Repérer ce qui dépend de la grandeur de départ et ce qui est fixe.
Écrire la recette de calcul avec une lettre (Définition 2).
Tester la formule sur une valeur simple dont on connaît déjà le résultat.

Exemple résolu : un taxi facture 4 € de prise en charge puis 2 € par kilomètre. Les 2 € s’appliquent à chaque kilomètre ( $2k$ ), les 4 € s’ajoutent une seule fois : $p = 2k + 4$ . Test pour $k = 1$ : $2 + 4 = 6$ € ✓.

Méthode 2 — remplir un tableau de valeurs par substitution.

Remplacer la lettre par chaque valeur de la première ligne (Propriété 1).
Respecter les priorités : le carré se calcule avant le produit.
Écrire les résultats dans la seconde ligne (Définition 3).

Exemple résolu : $\mathcal{A} = c^2$ pour $c = 1, 2, 3, 4, 5$ donne $1, 4, 9, 16, 25$ . Attention : pour $c = 4$ , $\mathcal{A} = 4 \times 4 = 16$ , et non $4 \times 2 = 8$ .

Méthode 3 — placer et lire des points dans un repère.

Transformer chaque colonne du tableau en un point (abscisse ; ordonnée) (Définition 4).
Pour lire : partir d’une valeur sur l’axe horizontal, monter jusqu’au point, lire l’ordonnée — ou faire le chemin inverse.

Exemple résolu : pour connaître l’aire d’un carré de côté 3 sur le graphique, on part de 3 sur l’axe horizontal, on monte jusqu’au point $(3\,;\,9)$ et on lit 9 sur l’axe vertical. Un nuage de points se lit dans les deux sens.

Méthode 4 — tester la proportionnalité d’une dépendance.

Test du double : je double la grandeur de départ ; l’autre double-t-elle ?
Ou comparer les quotients $\dfrac{\text{valeur calculée}}{\text{valeur de départ}}$ : ils doivent être tous égaux.
Ou regarder le graphique : points alignés et droite passant par l’origine (Propriété 2).

Exemple résolu : $c = 3 \rightarrow \mathcal{A} = 9$ et $c = 6 \rightarrow \mathcal{A} = 36$ : le côté a doublé, l’aire a été multipliée par 4 : pas proportionnel. Autre exemple : la distance de freinage $d = \dfrac{v^2}{200}$ passe de $12{,}5$ m à 50 m quand $v$ passe de 50 à 100 km/h — multipliée par 4, comme $c^2$ : c’est ce qui rend la vitesse dangereuse.

Pièges classiques

$c^2$ n’est pas $2c$ . Pour $c = 4$ : $c^2 = 4 \times 4 = 16$ , alors que $2c = 8$ . Les deux expressions ne coïncident que pour $c = 0$ et $c = 2$ . Une erreur à cet endroit fausse tout le tableau de valeurs (Méthode 2).

Des points alignés ne suffisent pas. Les points du taxi, $(0\,;\,4)$ , $(1\,;\,6)$ , $(5\,;\,14)$ , sont alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : pas de proportionnalité (Propriété 2).

Ne confonds pas abscisse et ordonnée. L’abscisse est la valeur de départ ( $c = 3$ ), l’ordonnée la valeur calculée ( $\mathcal{A} = 9$ ) : le point est $(3\,;\,9)$ , pas $(9\,;\,3)$ (Définition 4).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

Reste informé