Comment additionner deux nombres relatifs ?

S'ils sont de même signe, on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. S'ils sont de signes contraires, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on garde le signe de celui qui est le plus loin de zéro.

Que signifie soustraire un nombre relatif ?

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé : $a - b = a + (-b)$. Ainsi $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$.

Quelle différence entre l'opposé et la valeur absolue d'un nombre ?

L'opposé de $a$ est $-a$ : même distance à zéro, de l'autre côté. La valeur absolue $|a|$ est cette distance à zéro, toujours positive : $|-4{,}5| = 4{,}5$ et $|4{,}5| = 4{,}5$. Un nombre et son opposé ont la même valeur absolue.

Nombres relatifs

Définitions

Définition 1 — nombre relatif, positif, négatif. Un nombre relatif est un nombre précédé d’un signe : positif ( $+5$ , écrit simplement $5$ ) ou négatif ( $-3$ , le signe $-$ est obligatoire). Zéro est à la fois positif et négatif : c’est le seul nombre dans ce cas. Exemple : on rencontre les relatifs partout — températures, altitudes, soldes bancaires, étages d’un parking.

Vocabulaire	Signification	Exemples
positif	supérieur ou égal à 0	$0$ ; $3$ ; $2{,}5$
strictement positif	supérieur à 0, différent de 0	$3$ ; $2{,}5$
négatif	inférieur ou égal à 0	$0$ ; $-3$ ; $-0{,}75$
strictement négatif	inférieur à 0, différent de 0	$-3$ ; $-0{,}75$

Définition 2 — opposé d’un nombre. L’opposé de $a$ est le nombre $-a$ : même distance à zéro, de l’autre côté. Deux nombres opposés ont une somme nulle : $a + (-a) = 0$ , et l’opposé de l’opposé redonne le nombre : $-(-a) = a$ . Exemple : l’opposé de $-4{,}5$ est $4{,}5$ , car $-4{,}5 + 4{,}5 = 0$ ; l’opposé de $0$ est $0$ .

Définition 3 — valeur absolue. La valeur absolue d’un nombre est sa distance à zéro, c’est-à-dire le nombre sans son signe. On la note entre deux barres : $|-4| = 4$ , $|+6| = 6$ , $|0| = 0$ . Une valeur absolue est toujours positive, et deux nombres opposés ont la même valeur absolue. Exemple : $|-7{,}3| = |7{,}3| = 7{,}3$ .

Propriétés

Propriété 1 — comparaison sur la droite graduée. Sur la droite graduée, les nombres sont rangés du plus petit au plus grand, de gauche à droite. En particulier :

un nombre négatif est toujours inférieur à un nombre positif ;
entre deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue ;
entre deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue.

Exemple : $-7 < -3 < -1{,}5 < 0 < 0{,}25 < 2{,}75$ . Un « gros » nombre négatif est un petit nombre.

Propriété 2 — addition de deux nombres relatifs.

Même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
Signes contraires : on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et on prend le signe du nombre le plus éloigné de zéro.

Exemple : $(-3) + (-5) = -8$ (même signe) ; $(-9) + 6 = -3$ (signes contraires : $9 - 6 = 3$ , et $-9$ est le plus loin de zéro).

Propriété 3 — soustraire, c’est ajouter l’opposé. Pour tous nombres relatifs $a$ et $b$ :

$a - b = a + (-b)$

Toute soustraction se transforme donc en addition. Exemple : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$ et $-4 - 2 = -4 + (-2) = -6$ .

Propriété 4 — simplification d’écriture. Dans une somme, on peut supprimer les parenthèses et le signe $+$ de l’addition : $(-3) + (-5)$ s’écrit $-3 - 5$ . Les parenthèses restent indispensables quand deux signes se suivent : on écrit $5 - (-3)$ , jamais $5 - -3$ . Exemple : $(+7) + (-2{,}5) = 7 - 2{,}5 = 4{,}5$ .

Méthodes

Méthode 1 — comparer et ranger des nombres relatifs.

Séparer les négatifs (les plus petits) des positifs.
Ranger les positifs par valeur absolue croissante, et les négatifs par valeur absolue décroissante (Propriété 1).
En cas de doute, placer les nombres sur une droite graduée : le plus grand est le plus à droite.

Exemple : ranger $-3$ ; $2$ ; $-7$ ; $0{,}5$ : les négatifs d’abord, $-7 < -3$ , puis les positifs : $-7 < -3 < 0{,}5 < 2$ .

Méthode 2 — additionner deux nombres relatifs.

Regarder les signes des deux nombres.
Appliquer la Propriété 2 : même signe $\to$ on additionne les distances à zéro ; signes contraires $\to$ on les soustrait.
Déterminer le signe du résultat : le signe commun, ou celui du nombre le plus éloigné de zéro.

Exemple : $(-5{,}6) + (-3) = -8{,}6$ (même signe) ; $8 + (-2{,}5) = 5{,}5$ (signes contraires, $8$ est le plus loin de zéro).

Méthode 3 — soustraire un nombre relatif.

Transformer la soustraction en addition de l’opposé (Propriété 3) : remplacer $-(-b)$ par $+b$ et $- b$ par $+(-b)$ .
Calculer l’addition obtenue avec la Méthode 2.

Exemple : $-12 - (-2) = -12 + 2 = -10$ ; $4 - 9 = 4 + (-9) = -5$ .

Méthode 4 — enchaîner additions et soustractions.

Réécrire l’expression en n’utilisant que des additions (Méthode 3), puis simplifier l’écriture (Propriété 4).
Regrouper astucieusement : chercher les opposés (leur somme vaut 0) et les regroupements faciles.
Terminer le calcul avec la Méthode 2.

Exemple : $-2{,}5 + 7 + 2{,}5 - 4 = \underbrace{(-2{,}5 + 2{,}5)}_{0} + 7 - 4 = 3$ .

Méthode 5 — traduire une situation concrète.

Choisir le sens positif (hausse de température, altitude au-dessus de la mer, gain…).
Traduire la situation par une addition ou une soustraction de relatifs.
Calculer (Méthodes 2 et 3) et interpréter le signe du résultat.

Exemple : un congélateur est à $-18\ ^\circ$ C et la température monte de $5\ ^\circ$ C : $-18 + 5 = -13$ , la nouvelle température est $-13\ ^\circ$ C.

Pièges classiques

Deux signes $-$ qui se suivent donnent un $+$ , mais un seul $-$ reste un $-$ : $-12 - 2 = -14$ alors que $-12 - (-2) = -10$ . Avant de calculer, réécris tout en additions (Méthode 3).
$-7 < -3$ : entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro (Propriété 1). C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre.
Ne confonds pas opposé et valeur absolue : l’opposé de $-4{,}5$ est $4{,}5$ (l’autre côté de zéro), sa valeur absolue est $4{,}5$ aussi — mais l’opposé de $4{,}5$ est $-4{,}5$ , alors que $|4{,}5| = 4{,}5$ reste positif.

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