Comment calcule-t-on l'aire d'un parallélogramme ?

On multiplie la longueur d'un côté par la hauteur relative à ce côté : $\mathcal{A} = b \times h$. La hauteur est la distance entre le côté choisi et le côté opposé, pas la longueur du côté oblique.

Quelle est la relation entre litres et mètres cubes ?

$1$ L $= 1$ dm³ et $1\,000$ L $= 1$ m³. Ce lien permet de passer des unités de contenance aux unités de volume.

Comment convertir des aires et des volumes ?

Pour les aires, chaque changement d'unité de longueur correspond à un facteur 100. Pour les volumes, le facteur est 1000. C'est pourquoi $1$ m² $= 10\,000$ cm² et $1$ m³ $= 1\,000\,000$ cm³.

Grandeurs et mesures

Définitions

Définition 1 — périmètre. Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Il s’exprime en unités de longueur (cm, m, km…). Exemple : le périmètre d’un rectangle de 9 cm sur 4 cm vaut $2 \times (9 + 4) = 26$ cm.

Définition 2 — aire. L’aire d’une figure mesure la surface qu’elle occupe. Elle s’exprime en unités carrées (cm², m²…). Exemple : un carré de 6 cm de côté a une aire de $6^2 = 36\ \text{cm}^2$ .

Définition 3 — volume et contenance. Le volume d’un solide mesure l’espace qu’il occupe ; il s’exprime en unités cubes (cm³, m³…). La contenance (ou capacité) mesure ce qu’un récipient peut contenir ; elle s’exprime en litres. Les deux sont liées : $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3$ (Propriété 5). Exemple : un cube de 2 cm d’arête a un volume de $2^3 = 8\ \text{cm}^3$ .

Définition 4 — hauteur relative à une base. Dans un parallélogramme ou un triangle, la hauteur $h$ relative à une base $b$ est la distance perpendiculaire entre la base et le sommet (ou le côté) opposé — pas la longueur du côté oblique. Exemple : pour un parallélogramme de base 8 cm, de côté oblique 6 cm et de hauteur 5 cm, l’aire vaut $8 \times 5 = 40\ \text{cm}^2$ — jamais $8 \times 6$ .

Propriétés

Propriété 1 — périmètres et aires des figures usuelles.

Figure	Périmètre	Aire
Rectangle	$P = 2(L + \ell)$	$\mathcal{A} = L \times \ell$
Carré	$P = 4c$	$\mathcal{A} = c^2$
Parallélogramme	somme des côtés	$\mathcal{A} = b \times h$
Triangle	somme des côtés	$\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$
Disque	$P = 2\pi r = \pi d$	$\mathcal{A} = \pi r^2$

Attention à ne pas confondre les deux formules du disque : $2\pi r$ donne le périmètre, $\pi r^2$ l’aire.

Propriété 2 — le triangle, moitié du parallélogramme. Deux triangles identiques assemblés forment un parallélogramme de même base et de même hauteur : l’aire d’un triangle vaut la moitié de celle de ce parallélogramme, d’où la division par 2 dans $\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}$ . Exemple : triangle de base 12 cm et de hauteur 7 cm : $\mathcal{A} = \dfrac{12 \times 7}{2} = 42\ \text{cm}^2$ .

Propriété 3 — volumes des solides usuels.

Solide	Volume
Pavé droit	$V = L \times \ell \times h$
Cube	$V = c^3$
Prisme droit	$V = \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$
Cylindre	$V = \pi r^2 \times h$

Les prismes droits et les cylindres suivent la même règle : aire de la base multipliée par la hauteur.

Propriété 4 — conversions d’unités. Les longueurs se convertissent de 10 en 10 (km, hm, dam, m, dm, cm, mm) ; les aires de 100 en 100 (chaque rang d’unité de longueur donne un facteur $10 \times 10 = 100$ ) ; les volumes de 1000 en 1000. Exemple : $1\ \text{m}^2 = 100\ \text{dm}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ et $1\ \text{m}^3 = 1\,000\ \text{dm}^3 = 1\,000\,000\ \text{cm}^3$ ; $350\,000\ \text{m} = 350\ \text{km}$ .

Propriété 5 — volumes et contenances.

$\boxed{1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3} \qquad \boxed{1\,000\ \text{L} = 1\ \text{m}^3} \qquad 1\ \text{cL} = 10\ \text{cm}^3$

Exemples : $33$ cL $= 330\ \text{cm}^3$ ; $1\,500\ \text{cm}^3 = 1{,}5$ L ; $2\ \text{m}^3 = 2\,000$ L.

Méthodes

Méthode 1 — calculer une aire avec la bonne hauteur.

Choisir une base $b$ .
Identifier la hauteur $h$ relative à cette base : la distance perpendiculaire (Définition 4).
Appliquer la formule de la Propriété 1, avec la division par 2 pour un triangle (Propriété 2).

Exemple résolu : parallélogramme de base 8 cm, côté oblique 6 cm, hauteur 5 cm : $\mathcal{A} = 8 \times 5 = 40\ \text{cm}^2$ . Le côté oblique de 6 cm ne sert pas au calcul de l’aire.

Méthode 2 — calculer l’aire d’une figure complexe.

Découper la figure en figures usuelles (rectangles, triangles, parallélogrammes, demi-disques).
Calculer chaque aire avec la Propriété 1.
Additionner — ou soustraire si une partie est retirée.

Exemple résolu : un rectangle de $10 \times 6$ surmonté d’un demi-disque de rayon 3 : $\mathcal{A} = 10 \times 6 + \dfrac{\pi \times 3^2}{2} = 60 + 4{,}5\pi \approx 74{,}1\ \text{cm}^2$ . Avec soustraction : un parallélogramme de base 8 cm et de hauteur 5 cm auquel on retire un triangle de base 4 cm et de hauteur 3 cm : $\mathcal{A} = 40 - 6 = 34\ \text{cm}^2$ . Attention au périmètre d’un assemblage : les côtés devenus intérieurs ne comptent plus.

Méthode 3 — calculer un volume.

Identifier le solide et sa base (Propriété 3).
Calculer l’aire de la base (Propriété 1).
Multiplier par la hauteur du solide.

Exemples résolus : prisme droit à base triangulaire (base 6 cm, hauteur du triangle 4 cm, hauteur du prisme 10 cm) : $\mathcal{A}_{\text{base}} = \dfrac{6 \times 4}{2} = 12\ \text{cm}^2$ puis $V = 12 \times 10 = 120\ \text{cm}^3$ . Cylindre de rayon 2 cm et de hauteur 10 cm : $V = \pi \times 2^2 \times 10 = 40\pi \approx 125{,}7\ \text{cm}^3$ . Assemblage (pavé $6 \times 4 \times 3$ surmonté d’un demi-cylindre de rayon 2 et de longueur 6) : $V = 72 + \dfrac{\pi \times 2^2 \times 6}{2} = 72 + 12\pi \approx 109{,}7\ \text{cm}^3$ .

Méthode 4 — convertir des aires et des volumes.

Compter les rangs entre les deux unités de longueur.
Multiplier (ou diviser) par 100 par rang pour une aire, par 1000 par rang pour un volume (Propriété 4).

Exemple résolu : $0{,}05\ \text{m}^2$ en cm² : de m² à cm², deux rangs, donc un facteur $100 \times 100 = 10\,000$ : $0{,}05 \times 10\,000 = 500\ \text{cm}^2$ .

Méthode 5 — passer des volumes aux contenances.

Convertir le volume en dm³ (ou le ramener en cm³).
Utiliser $1\ \text{L} = 1\ \text{dm}^3 = 1\,000\ \text{cm}^3$ (Propriété 5).

Exemple résolu : $1\,500\ \text{cm}^3 = 1{,}5\ \text{dm}^3 = 1{,}5$ L ; dans l’autre sens, $2\ \text{m}^3 = 2\,000\ \text{dm}^3 = 2\,000$ L.

Pièges classiques

L’unité fait partie du résultat. « Le volume d’un cube de 3 cm de côté est égal à $27\ \text{cm}^2$ » : le nombre est juste, l’unité est fausse — un volume s’exprime en $\text{cm}^3$ (Définition 3). Réflexe de contrôle : longueur → unité simple, aire → unité carrée, volume → unité cube.
Les aires ne se convertissent pas de 10 en 10. Un rang d’unité correspond à un facteur 100 pour les aires et 1000 pour les volumes (Propriété 4) : $1\ \text{m}^2 = 10\,000\ \text{cm}^2$ , pas $100$ .
La hauteur n’est pas le côté oblique. Dans $\mathcal{A} = b \times h$ , la hauteur est perpendiculaire à la base (Définition 4) ; et pour un triangle, ne pas oublier la division par 2 (Propriété 2).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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