Géométrie plane : triangles, parallélogrammes et démonstration

Propriété 1 — droites parallèles et angles égaux. Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes qu’elles forment sont égaux, et les angles correspondants aussi. Cette propriété sert à calculer un angle. Exemple : deux droites parallèles coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes ; si l’un mesure $63^\circ$, l’autre mesure aussi $63^\circ$.

Propriété 2 — angles égaux et droites parallèles (réciproques). Si deux droites coupées par une sécante forment des angles alternes-internes égaux (ou des angles correspondants égaux), alors ces deux droites sont parallèles. Cette propriété sert à démontrer un parallélisme. Exemple : deux angles correspondants de $58^\circ$ chacun : les droites sont parallèles.

Propriété 3 — somme des angles d’un triangle. Dans tout triangle : $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ$.

Démonstration. On trace la parallèle à $(BC)$ passant par $A$. Les angles alternes-internes formés avec les sécantes $(AB)$ et $(AC)$ sont égaux (Propriété 1) : on retrouve $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ de part et d’autre de $\widehat{A}$, et les trois angles réunis en $A$ forment un angle plat de $180^\circ$.

Propriété 4 — médiatrices et cercle circonscrit. Un point appartient à la médiatrice de $[AB]$ si et seulement si il est à égale distance de $A$ et de $B$. Les trois médiatrices d’un triangle sont concourantes : leur point commun, à égale distance des trois sommets, est le centre du cercle circonscrit. Exemple : si $ABC$ est isocèle en $A$, alors $AB = AC$ et $A$ appartient à la médiatrice de $[BC]$ : cette droite est l’axe de symétrie du triangle, à la fois hauteur et médiane issues de $A$. Dans un triangle équilatéral, médiatrices, hauteurs et médianes sont confondues.

Propriété 5 — hauteurs concourantes. Les trois hauteurs d’un triangle sont concourantes : elles passent par un même point. Exemple : dans un triangle qui a un angle obtus, deux des hauteurs tombent à l’extérieur du triangle, mais les trois droites restent concourantes.

Propriété 6 — médiane et partage de l’aire. Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire. Démonstration. Si $I$ est le milieu de $[BC]$, les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases de même longueur ($BI = IC$) et la même hauteur, celle issue de $A$ : donc $\mathcal{A}_{ABI} = \dfrac{BI \times h}{2} = \dfrac{IC \times h}{2} = \mathcal{A}_{AIC}$. Exemple : si l’aire de $ABC$ vaut $24\ \text{cm}^2$, chacun des deux triangles a une aire de $12\ \text{cm}^2$ — sans rien mesurer.

Propriété 7 — propriétés du parallélogramme. Dans un parallélogramme : les côtés opposés ont la même longueur ; les angles opposés sont égaux ; deux angles consécutifs ont une somme de $180^\circ$ ; les diagonales se coupent en leur milieu. Exemple : si $\widehat{A} = 70^\circ$, alors $\widehat{B} = 180 - 70 = 110^\circ$ et $\widehat{C} = 70^\circ$.

Propriété 8 — reconnaître un parallélogramme. Un quadrilatère (non croisé) est un parallélogramme dès que : ses diagonales se coupent en leur milieu, ou ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur, ou deux côtés opposés sont parallèles et de même longueur. Exemple : pour une démonstration, la propriété des diagonales est souvent celle qui débloque la situation.

Propriété 9 — reconnaître un rectangle, un losange, un carré. Un parallélogramme est : un rectangle s’il a un angle droit, ou si ses diagonales ont la même longueur ; un losange s’il a deux côtés consécutifs de même longueur, ou si ses diagonales sont perpendiculaires ; un carré s’il est à la fois rectangle et losange. Lecture du codage dans une figure complexe : quatre traits identiques sur les côtés → losange ; quatre angles droits → rectangle ; les deux → carré ; deux paires de flèches → parallélogramme ; une seule paire de côtés parallèles → trapèze.