Quiz — Géométrie plane

Question 1 : Dans un triangle $ABC$, $\widehat{A} = 65^\circ$ et $\widehat{B} = 48^\circ$. Combien mesure $\widehat{C}$ ?

• ✓ $67^\circ$
• $113^\circ$
• $77^\circ$
• $57^\circ$

Explication : La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$, donc $\widehat{C} = 180 - (65 + 48) = 180 - 113 = 67^\circ$.

Question 2 : Un triangle $ABC$ est isocèle en $A$. Que peut-on affirmer sur la médiatrice du côté $[BC]$ ?

• ✓ Elle passe par $A$ : c'est aussi la hauteur et la médiane issues de $A$
• Elle est parallèle à $(BC)$
• Elle passe par $B$
• Elle ne passe par aucun sommet

Explication : Comme $AB = AC$, le point $A$ est à égale distance de $B$ et de $C$ : il appartient à la médiatrice de $[BC]$. Cette droite est l'axe de symétrie du triangle ; elle est à la fois médiatrice de $[BC]$, hauteur et médiane issues de $A$, et le centre du cercle circonscrit se trouve dessus.

Question 3 : Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Que peut-on dire des angles alternes-internes formés ?

• Ils sont supplémentaires
• Ils sont complémentaires
• Leur somme vaut $90^\circ$
• ✓ Ils sont égaux

Explication : Si deux droites sont parallèles, les angles alternes-internes qu'elles forment avec une sécante sont égaux. La réciproque est également vraie et sert à démontrer un parallélisme.

Question 4 : Deux droites coupées par une sécante forment des angles correspondants de $58^\circ$ et $58^\circ$. Que peut-on conclure ?

• ✓ Les deux droites sont parallèles
• Les deux droites sont perpendiculaires
• Les deux droites sont sécantes
• On ne peut rien conclure

Explication : Si deux angles correspondants sont égaux, alors les deux droites sont parallèles. C'est la réciproque de la propriété des angles correspondants, et c'est un outil de démonstration du parallélisme.

Question 5 : Quelle propriété permet d'affirmer qu'un quadrilatère est un parallélogramme ?

• Ses diagonales sont égales
• ✓ Ses diagonales se coupent en leur milieu
• Ses diagonales sont perpendiculaires
• Il a deux angles droits

Explication : Un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu est un parallélogramme. Des diagonales égales ou perpendiculaires ne suffisent pas : un trapèze isocèle a des diagonales égales, un cerf-volant des diagonales perpendiculaires.

Question 6 : Dans un parallélogramme $ABCD$, $\widehat{A} = 70^\circ$. Combien mesure $\widehat{B}$ ?

• $70^\circ$
• $20^\circ$
• ✓ $110^\circ$
• $90^\circ$

Explication : Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires : $\widehat{B} = 180 - 70 = 110^\circ$. Les angles opposés, eux, sont égaux : $\widehat{C} = 70^\circ$.

Question 7 : $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Quelle est sa nature ?

• ✓ Un losange
• Un rectangle
• Un carré
• Un trapèze

Explication : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange : ses quatre côtés ont la même longueur. Pour conclure à un carré, il faudrait en plus des diagonales de même longueur (ou un angle droit).

Question 8 : $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Quelle est sa nature ?

• ✓ Un rectangle
• Un losange
• Un carré
• Un parallélogramme quelconque

Explication : Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle : ses quatre angles sont droits. Rien n'indique que ses côtés sont égaux, on ne peut donc pas conclure à un carré.

Question 9 : Un triangle $ABC$ a une aire de $24\ \text{cm}^2$ et $I$ est le milieu de $[BC]$. Quelle est l'aire du triangle $ABI$ ?

• ✓ $12\ \text{cm}^2$
• $24\ \text{cm}^2$
• $8\ \text{cm}^2$
• On ne peut pas savoir sans mesurer

Explication : $[AI]$ est une médiane. Les triangles $ABI$ et $AIC$ ont des bases de même longueur ($BI = IC$) et la même hauteur issue de $A$ : ils ont donc la même aire, $24 \div 2 = 12\ \text{cm}^2$.

Question 10 : Que peut-on dire des trois hauteurs d'un triangle ?

• Elles sont parallèles
• ✓ Elles sont concourantes
• Chacune passe par le milieu d'un côté
• Elles sont perpendiculaires entre elles

Explication : Une hauteur passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé. Les trois hauteurs d'un triangle passent toujours par un même point : elles sont concourantes. Passer par le milieu d'un côté est la propriété des médianes.