Comment additionner deux fractions de dénominateurs différents ?

On cherche un dénominateur commun, c'est-à-dire un multiple des deux dénominateurs : le plus grand des deux s'il est multiple de l'autre, sinon leur produit ou un multiple commun plus petit. On écrit les deux fractions avec ce dénominateur, puis on additionne les numérateurs sans toucher au dénominateur.

Comment savoir si deux fractions sont égales ?

Deux fractions sont égales si on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul. Par exemple 14/6 = 7/3 en divisant les deux termes par 2.

Comment décomposer une fraction en somme d'un entier et d'une fraction ?

On effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur. Pour 15/7 : 15 = 2 × 7 + 1, donc 15/7 = 2 + 1/7.

Fractions — BgMaths

Définitions

Définition 1 — fraction, numérateur, dénominateur. Une fraction $\dfrac{a}{b}$ (avec $b \neq 0$ ) est le quotient de $a$ par $b$ : $a$ est le numérateur, $b$ le dénominateur. Une fraction est un nombre, pas une opération en attente : c’est un point précis de la droite graduée. Exemple : $\dfrac{3}{4} = 3 \div 4 = 0{,}75$ .

Définition 2 — fraction simplifiée. Simplifier une fraction, c’est écrire une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. Quand ils n’ont plus de diviseur commun autre que $1$ , on ne peut plus simplifier. Exemple : $\dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$ en divisant les deux termes par $6$ ; on ne peut plus simplifier $\dfrac{2}{5}$ .

Définition 3 — pourcentage. Un pourcentage est une fraction de dénominateur $100$ : $t\,\% = \dfrac{t}{100}$ . Exemple : $20\,\% = \dfrac{20}{100} = 0{,}2$ , donc $20\,\%$ de $70$ € vaut $\dfrac{20}{100} \times 70 = 14$ €.

Propriétés

Propriété 1 — fractions égales. On ne change pas une fraction en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul :

$\frac{a}{b} = \frac{k \times a}{k \times b} \qquad (k \neq 0)$

Exemple : $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{10}{15}$ , et $\dfrac{14}{6} = \dfrac{7}{3}$ en divisant par $2$ .

Propriété 2 — comparaison de fractions.

Même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur : $\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}$ .
Même numérateur : la plus grande est celle qui a le plus petit dénominateur : $\dfrac{8}{3} > \dfrac{8}{21}$ , car partager $8$ en $3$ parts donne des parts plus grosses qu’en $21$ parts.
Sinon : on écrit les deux fractions avec un dénominateur commun (un multiple des deux dénominateurs), puis on compare les numérateurs.

Exemple : $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{7}{18}$ : avec le dénominateur $36$ , $\dfrac{27}{36} > \dfrac{14}{36}$ , donc $\dfrac{3}{4} > \dfrac{7}{18}$ .

Propriété 3 — addition et soustraction de même dénominateur. On additionne (ou soustrait) les numérateurs, le dénominateur ne change pas :

$\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} \qquad\qquad \frac{a}{b} - \frac{c}{b} = \frac{a-c}{b}$

Exemple : $\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{5}{7}$ et $\dfrac{23}{10} - \dfrac{5}{10} = \dfrac{18}{10} = \dfrac{9}{5}$ .

Propriété 4 — un même nombre, plusieurs écritures. Un nombre décimal s’écrit toujours sous forme d’une fraction de dénominateur $10$ , $100$ , $1000$ … et une même quantité peut s’écrire en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage. Exemple : $1{,}2 = \dfrac{12}{10} = \dfrac{6}{5} = 1 + \dfrac{1}{5} = 120\,\% = \dfrac{120}{100}$ ; et $0{,}07 = \dfrac{7}{100}$ .

Fraction	Écriture décimale	Pourcentage
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100}$	$0{,}75$	$75\,\%$
$\dfrac{1}{5} = \dfrac{20}{100}$	$0{,}2$	$20\,\%$
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{50}{100}$	$0{,}5$	$50\,\%$

Méthodes

Méthode 1 — simplifier une fraction.

Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (les critères de divisibilité aident).
Diviser les deux termes par ce nombre (Propriété 1), et recommencer tant que c’est possible.

Exemple : $\dfrac{39}{12}$ : la somme des chiffres de $39$ vaut $12$ , donc $3$ divise $39$ ; $\dfrac{39}{12} = \dfrac{39 \div 3}{12 \div 3} = \dfrac{13}{4}$ , et $13$ et $4$ n’ont plus de diviseur commun autre que $1$ .

Méthode 2 — comparer ou ranger des fractions.

Chercher un dénominateur commun : le plus grand des dénominateurs s’il est multiple des autres, sinon un multiple commun.
Écrire toutes les fractions avec ce dénominateur (Propriété 1).
Ranger selon les numérateurs (Propriété 2).

Exemple : ranger $\dfrac{1}{3}$ , $\dfrac{25}{6}$ et $\dfrac{5}{3}$ : sur $6$ , cela donne $\dfrac{2}{6}$ , $\dfrac{25}{6}$ et $\dfrac{10}{6}$ , donc $\dfrac{1}{3} < \dfrac{5}{3} < \dfrac{25}{6}$ .

Méthode 3 — encadrer et décomposer une fraction.

Poser la division euclidienne du numérateur par le dénominateur.
Le quotient donne la partie entière, le reste donne le numérateur de la fraction restante (plus petite que $1$ ).

Exemple : $\dfrac{15}{7}$ : $15 = 2 \times 7 + 1$ , donc $\dfrac{15}{7} = \dfrac{14}{7} + \dfrac{1}{7} = 2 + \dfrac{1}{7}$ : c’est « un peu plus que 2 », et $2 < \dfrac{15}{7} < 3$ .

Méthode 4 — additionner ou soustraire deux fractions.

Même dénominateur : additionner ou soustraire les numérateurs (Propriété 3).
Un dénominateur multiple de l’autre : tout écrire sur le plus grand : $\dfrac{5}{12} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{13}{12}$ .
Dénominateurs quelconques : choisir un multiple commun des deux dénominateurs, souvent leur produit : $\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{8}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{11}{12}$ .
Pour un entier, l’écrire d’abord en fraction : $3 + \dfrac{2}{5} = \dfrac{15}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5}$ .

Exemple résolu : Léa a lu $\dfrac{1}{3}$ de son livre lundi et $\dfrac{1}{4}$ mardi. Lu en tout : $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}$ . Il lui reste $1 - \dfrac{7}{12} = \dfrac{5}{12}$ du livre.

Méthode 5 — prendre une fraction d’un nombre.

Diviser le nombre par le dénominateur (pour obtenir une part).
Multiplier le résultat par le numérateur.

Exemple : $\dfrac{2}{5}$ de $60$ : $60 \div 5 = 12$ , puis $12 \times 2 = 24$ .

Méthode 6 — passer d’une écriture à une autre.

Fraction $\to$ pourcentage : chercher une fraction égale de dénominateur $100$ (Propriété 1).
Décimal $\to$ fraction : utiliser les dénominateurs $10$ , $100$ , $1000$ … puis simplifier (Méthode 1).
Choisir l’écriture la plus commode pour le calcul en cours (Propriété 4).

Exemple : $\dfrac{3}{4} = \dfrac{75}{100} = 75\,\%$ ; et $2{,}5 = \dfrac{25}{10} = \dfrac{5}{2}$ .

Pièges classiques

On n’additionne jamais les dénominateurs : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \neq \dfrac{2}{5}$ . Bon sens : $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ est plus grand que $\dfrac{1}{2}$ , alors que $\dfrac{2}{5}$ est plus petit que $\dfrac{1}{2}$ . Le bon résultat est $\dfrac{5}{6}$ (Méthode 4).
Simplifier, ce n’est pas soustraire : on divise les deux termes par un même nombre (Propriété 1), on n’enlève pas un même nombre en haut et en bas : $\dfrac{5}{6} \neq \dfrac{4}{5}$ .
Le dénominateur commun n’est pas toujours le produit : pour $\dfrac{5}{12} + \dfrac{2}{3}$ , inutile de passer par $36$ : $12$ est déjà un multiple de $3$ .

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Propriétés

Méthodes

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