Quels sont les critères de divisibilité à connaître en 5ème ?

Par 2 si le nombre se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s'il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s'il se termine par 0 ; par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 ; par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Comment savoir si un nombre est un multiple d'un autre ?

On pose la division euclidienne : si le reste est nul, le premier nombre est un multiple du second, et le second est un diviseur du premier. Par exemple $56 = 14 \times 4$ avec un reste nul, donc 56 est un multiple de 14.

Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

C'est un entier supérieur à 1 qui n'a que deux diviseurs, 1 et lui-même : 2, 3, 5, 7, 11, 13… Cette notion est un prolongement culturel en 5ème : elle sera approfondie plus tard dans le cycle.

Divisibilité : division euclidienne, multiples et diviseurs

Définitions

Définition 1 — division euclidienne. Diviser un entier $a$ (le dividende) par un entier $b$ non nul (le diviseur), c’est trouver deux entiers $q$ (le quotient) et $r$ (le reste) tels que :

$a = b \times q + r \qquad \text{avec} \qquad 0 \leq r < b$

Exemple à retenir : $17 = 3 \times 5 + 2$ : le quotient est $5$ , le reste est $2$ .

Définition 2 — multiple et diviseur. Quand le reste vaut zéro, la division est exacte et on emploie deux mots pour la même situation : si $a = b \times q$ , alors $a$ est un multiple de $b$ , et $b$ est un diviseur de $a$ . Exemple : $56 = 14 \times 4$ : $56$ est un multiple de $14$ , et $14$ est un diviseur de $56$ .

Définition 3 — nombre premier (prolongement culturel). Un nombre premier est un entier qui possède exactement deux diviseurs : $1$ et lui-même. Exemple : $2$ ; $3$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ; $13$ ; $17$ ; $19$ ; $23$ ; $29$ … Le nombre $1$ n’est pas premier (un seul diviseur) et $2$ est le seul premier pair. Ératosthène a imaginé un « crible » pour les trouver (on barre les multiples de 2, puis de 3, puis de 5…), et Euclide a démontré qu’il en existe une infinité. Ces nombres seront étudiés de plus près en fin de cycle.

Propriétés

Propriété 1 — le reste est plus petit que le diviseur. Dans une division euclidienne, le reste est toujours strictement inférieur au diviseur. Exemple : en divisant par $16$ , les restes possibles vont de $0$ à $15$ . Si tu trouves un reste plus grand que le diviseur, c’est que le quotient est trop petit.

Propriété 2 — critères de divisibilité par 2, 5 et 10. Un nombre entier est divisible :

par 2 si son chiffre des unités est $0$ , $2$ , $4$ , $6$ ou $8$ ;
par 5 si son chiffre des unités est $0$ ou $5$ ;
par 10 si son chiffre des unités est $0$ .

Exemple : $1980$ se termine par $0$ : il est divisible par $2$ , par $5$ et par $10$ .

Propriété 3 — critères de divisibilité par 3 et par 9. Un nombre entier est divisible :

par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par $3$ ;
par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Tout nombre divisible par $9$ est divisible par $3$ , mais la réciproque est fausse. Exemple : pour $456$ , $4 + 5 + 6 = 15$ : divisible par $3$ mais pas par $9$ . Pour $1980$ , $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ : divisible par $3$ et par $9$ .

Propriété 4 — factoriser avec les tables. Les tables de multiplication permettent d’écrire certains nombres comme produit de deux entiers différents de $1$ . Cette écriture sert à reconnaître des fractions égales et à résoudre des problèmes de partage. Exemple : $21 = 3 \times 7$ , $56 = 7 \times 8$ , $36 = 4 \times 9 = 6 \times 6$ ; et $\dfrac{21}{56} = \dfrac{3 \times 7}{8 \times 7} = \dfrac{3}{8}$ .

Méthodes

Méthode 1 — poser et interpréter une division euclidienne.

Chercher le plus grand multiple du diviseur inférieur ou égal au dividende.
Écrire l’égalité $a = b \times q + r$ et vérifier que $0 \leq r < b$ (Propriété 1).
Interpréter le quotient et le reste dans le contexte du problème.

Exemple : 147 élèves répartis par équipes de 16 : $147 = 16 \times 9 + 3$ . On forme 9 équipes complètes et il reste 3 élèves ; il manquerait $16 - 3 = 13$ élèves pour une dixième équipe.

Méthode 2 — tester si un nombre en divise un autre.

Poser la division euclidienne de $a$ par $b$ (ou utiliser un critère de divisibilité).
Si le reste vaut $0$ , alors $b$ divise $a$ (Définition 2) ; sinon, non.

Exemple : 18 divise-t-il 420 ? $420 = 18 \times 23 + 6$ : le reste n’est pas nul, donc non. C’est exactement ce que fait un programme avec le bloc « reste de la division » : calculer le reste et regarder s’il vaut 0.

Méthode 3 — dresser la liste des diviseurs.

Tester les diviseurs par paires dont le produit vaut le nombre, en partant de $1$ .
S’arrêter quand les deux membres de la paire se croisent.

Exemple : pour 28 : $1 \times 28$ , $2 \times 14$ , $4 \times 7$ ( $3$ , $5$ et $6$ ne conviennent pas). Les diviseurs de 28 sont $1$ ; $2$ ; $4$ ; $7$ ; $14$ ; $28$ .

Méthode 4 — utiliser les critères de divisibilité.

Regarder le chiffre des unités pour $2$ , $5$ et $10$ (Propriété 2).
Calculer la somme des chiffres pour $3$ et $9$ (Propriété 3).

Exemple : 1980 : il se termine par $0$ (divisible par 2, 5, 10) et $1 + 9 + 8 + 0 = 18$ (divisible par 3 et 9) : les cinq critères s’appliquent.

Méthode 5 — encadrer par des multiples.

Poser la division euclidienne du nombre visé par $b$ .
Le multiple inférieur est $b \times q$ ; le multiple suivant est $b \times (q + 1)$ .

Exemple : le plus petit multiple de 7 strictement supérieur à 100 : $100 = 7 \times 14 + 2$ , donc c’est $7 \times 15 = 105$ . Autre exemple : les multiples de 6 jusqu’à 50 sont $6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48$ — il y en a huit, le suivant, $54$ , dépasse 50.

Méthode 6 — résoudre un problème de répartition.

Traduire le problème par une division euclidienne (Méthode 1).
Conclure selon le reste : partage exact si $r = 0$ , sinon interpréter ce qui reste.

Exemple : répartir 420 livres également sur 18 étagères ? $420 = 18 \times 23 + 6$ : le reste vaut 6, donc non. Avec 20 ou 21 étagères en revanche, $420 = 20 \times 21$ : la répartition est exacte.

Pièges classiques

« Diviseur » et « division » ne disent pas la même chose : tout nombre peut être divisé par 7 à la calculatrice, mais 7 est un diviseur de 56 uniquement parce que le reste de la division euclidienne est nul (Définition 2).
Un reste trop grand : si le reste dépasse le diviseur, le quotient est trop petit — on peut encore caser le diviseur une fois de plus (Propriété 1).
Divisible par 3 n’implique pas divisible par 9 : $456$ est divisible par 3 mais pas par 9 ; c’est l’implication inverse qui est toujours vraie (Propriété 3).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

Reste informé