Comment réduire une expression littérale en 5ème ?

On regroupe les termes qui ont la même lettre en additionnant leurs nombres : $5{,}2x + 3{,}4x = 8{,}6x$. C'est la distributivité simple, lue de droite à gauche.

Comment résoudre une équation comme 3x = 4,5 ou x + 7,5 = 12 ?

On utilise l'opération inverse. Pour $3x = 4{,}5$, on divise : $x = 4{,}5 \div 3 = 1{,}5$. Pour $x + 7{,}5 = 12$, on soustrait : $x = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$. On vérifie ensuite en remplaçant $x$ par la valeur trouvée.

Comment démontrer une propriété générale avec une lettre ?

On appelle $n$ un nombre quelconque, on traduit l'énoncé par une expression, puis on la transforme. Comme $n$ représente n'importe quel entier, le résultat obtenu vaut pour tous les nombres.

Calcul littéral

Définitions

Définition 1 — expression littérale et rôles de la lettre. Une expression littérale est une expression contenant une ou plusieurs lettres qui représentent des nombres. La lettre peut jouer quatre rôles :

Rôle	Exemple	Ce que représente la lettre
Formule	$P = 2\ell + 2L$	une grandeur qui varie
Programme de calcul	$(n+2) \times 3 - 6$	le nombre choisi au départ
Démonstration	« la somme de deux entiers consécutifs est impaire »	n’importe quel nombre
Équation	$3x = 4{,}5$	un nombre inconnu, que l’on cherche

Le rôle « démonstration » fait toute la puissance du calcul littéral : une seule ligne démontre une propriété pour une infinité de nombres.

Définition 2 — conventions d’écriture. On supprime le signe $\times$ devant une lettre ou une parenthèse, et on place le nombre en premier : $2a$ , $ab$ , $2\pi r$ . Une multiplication répétée s’écrit avec un exposant : $a^2 = a \times a$ et $a^3 = a \times a \times a$ . On garde le signe $\times$ entre deux nombres : $3 \times 5$ , jamais $35$ . Exemple : $3 \times x \times 2 = 6x$ ; $\pi \times r \times r = \pi r^2$ ; $x \times 5 + 1 = 5x + 1$ .

Définition 3 — équation, inconnue, solution. Une équation est une égalité contenant une lettre, l’inconnue, qui désigne un nombre que l’on cherche. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Exemple : dans $3x = 4{,}5$ , l’inconnue est $x$ et la solution est $1{,}5$ , car $3 \times 1{,}5 = 4{,}5$ . Au IXᵉ siècle, Al-Khwarizmi appelait l’inconnue « la chose » ; le mot al-jabr de son traité a donné le mot algèbre.

Propriétés

Propriété 1 — distributivité simple. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

$k(a + b) = ka + kb \qquad\qquad k(a - b) = ka - kb$

Développer transforme un produit en somme (lecture de gauche à droite) ; factoriser transforme une somme en produit (lecture de droite à gauche). Exemple : $5(x + 3) = 5x + 15$ (développement) ; $7x + 14 = 7(x + 2)$ (factorisation).

Propriété 2 — réduction. Pour tous nombres décimaux $a$ et $b$ :

$ax + bx = (a + b)x$

C’est la distributivité lue à l’envers : on ne peut regrouper que des termes ayant exactement la même partie littérale. Exemple : $5{,}2x + 3{,}4x = 8{,}6x$ , mais $4a + 2b$ et $3x + 5x^2$ ne se réduisent pas.

Propriété 3 — un contre-exemple suffit. Pour prouver que deux expressions ne sont pas égales, il suffit d’une seule valeur qui les sépare. En revanche, des valeurs qui donnent le même résultat ne prouvent rien. Exemple : pour $x = 2$ , $4 + 3x = 10$ et $7x = 14$ : les deux expressions ne sont pas égales — même si pour $x = 1$ elles valent toutes les deux $7$ .

Propriété 4 — pairs, impairs et multiples. Avec $n$ entier :

Énoncé	Écriture littérale
Un entier pair	$2n$
Un entier impair	$2n + 1$
Un multiple de 3	$3n$
L’entier qui suit $n$	$n + 1$
L’entier qui précède $n$	$n - 1$

Exemple : pour $n = 4$ , $2n = 8$ est pair et $2n + 1 = 9$ est impair.

Méthodes

Méthode 1 — simplifier une écriture.

Regrouper les nombres entre eux et les multiplier.
Supprimer les signes $\times$ devant les lettres et écrire le nombre en premier (Définition 2), avec un exposant pour une lettre répétée.

Exemple : $3 \times x \times 2 = 6x$ et $5 \times a + 3 \times b = 5a + 3b$ .

Méthode 2 — réduire une expression.

Repérer les termes qui ont exactement la même partie littérale.
Additionner (ou soustraire) leurs nombres, sans changer la lettre (Propriété 2).

Exemple : $2{,}4x - 2{,}1x = 0{,}3x$ (la lettre ne disparaît pas !) ; $7y - y = 6y$ car $y = 1y$ ; $3x + 5x^2$ ne se réduit pas.

Méthode 3 — développer ou factoriser.

Pour développer $k(a + b)$ : multiplier $k$ par chacun des termes de la parenthèse (Propriété 1).
Pour factoriser : repérer un facteur commun aux termes, et le mettre en avant.
Vérifier avec une valeur simple.

Exemple : $5(x + 3) = 5x + 15$ ; à l’envers, $7x + 14 = 7(x + 2)$ . Vérification pour $x = 1$ : $5(1+3) = 20$ et $5 \times 1 + 15 = 20$ .

Méthode 4 — substituer une valeur.

Remplacer chaque lettre par sa valeur, en rétablissant les signes $\times$ cachés.
Calculer en respectant les priorités opératoires.

Exemple : pour $x = 2$ et $y = 1$ : $3x + 5y = 3 \times 2 + 5 \times 1 = 6 + 5 = 11$ ; pour $a = 8$ : $7a = 56$ .

Méthode 5 — tester une égalité.

Choisir une valeur et calculer les deux expressions (Méthode 4).
Si les résultats diffèrent, les expressions ne sont pas égales : un contre-exemple suffit (Propriété 3).
Si les résultats coïncident, tester d’autres valeurs — mais seule une preuve littérale garantit l’égalité pour toutes les valeurs.

Exemple : $4 + 3x$ et $7x$ : pour $x = 0$ , elles valent $4$ et $0$ : elles ne sont pas égales.

Méthode 6 — produire une formule.

Observer la régularité sur les premières étapes (combien on ajoute à chaque fois, d’où on part).
Écrire l’expression en fonction de $n$ , puis la vérifier sur une étape connue.

Exemple : 4 carrés à l’étape 1, puis 7, puis 10 : on ajoute 3 à chaque étape en partant de 4, d’où la formule $3n + 1$ . Vérification : pour $n = 3$ , $3 \times 3 + 1 = 10$ . De même, l’aire d’un carré de côté $c$ est $\mathcal{A} = c^2$ .

Méthode 7 — résoudre une équation par l’opération inverse.

Traduire le problème par une équation du type $ax = c$ ou $x + b = c$ (Définition 3).
Défaire l’opération : une multiplication se défait en divisant, une addition en soustrayant.
Vérifier en remplaçant l’inconnue par la valeur trouvée.

Équation	Opération à défaire	Solution	Vérification
$3x = 4{,}5$	une multiplication → on divise	$x = 4{,}5 \div 3 = 1{,}5$	$3 \times 1{,}5 = 4{,}5$
$x + 7{,}5 = 12$	une addition → on soustrait	$x = 12 - 7{,}5 = 4{,}5$	$4{,}5 + 7{,}5 = 12$
$x - 2{,}4 = 6$	une soustraction → on ajoute	$x = 6 + 2{,}4 = 8{,}4$	$8{,}4 - 2{,}4 = 6$

Exemple : trois carnets identiques coûtent $4{,}50$ € : l’équation est $3x = 4{,}5$ , donc un carnet coûte $x = 1{,}50$ €. Écrire l’équation, c’est déjà la moitié du travail.

Méthode 8 — démontrer avec une lettre.

Appeler $n$ un nombre quelconque et traduire l’énoncé avec les écritures de la Propriété 4.
Transformer l’expression (réduire, factoriser) pour faire apparaître la forme voulue.
Conclure : le résultat vaut pour tous les nombres.

Exemple 1 : la somme de deux entiers consécutifs est $n + (n + 1) = 2n + 1$ , forme générale d’un impair : c’est démontré pour tous les entiers. Exemple 2 : $n + (n+1) + (n+2) = 3n + 3 = 3(n + 1)$ , un multiple de 3.

Pièges classiques

$3x$ et $x^3$ ne veulent pas dire la même chose : $3x = x + x + x$ (addition répétée) et $x^3 = x \times x \times x$ (multiplication répétée). Pour $x = 2$ : $3x = 6$ mais $x^3 = 8$ .
$4 + 3x \neq 7x$ : on ne peut pas additionner $4$ et $3x$ , leurs parties littérales diffèrent (Propriété 2). Un contre-exemple le prouve (Propriété 3).
La lettre ne disparaît pas dans une réduction : $2{,}4x - 2{,}1x = 0{,}3x$ , et non $0{,}3$ .

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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