Qu'est-ce qu'une translation ?

C'est un glissement de toute la figure dans une direction, un sens et une longueur donnés — sans rotation ni retournement. Chaque point se déplace de la même façon.

Comment construire l'image d'un point par une translation ?

Si la translation transforme A en A', l'image M' d'un point M est le point tel que AA'M'M soit un parallélogramme : on reporte le même déplacement (même direction, même sens, même longueur) à partir de M.

Que conserve une translation ?

Les longueurs, les angles, les aires et le parallélisme. L'image d'une droite est une droite parallèle.

La translation — BgMaths

Définitions

Définition 1 — translation. La translation qui transforme $A$ en $A'$ fait glisser toute la figure comme $A$ glisse vers $A'$ : même direction, même sens, même longueur pour tous les points. Aucune rotation, aucun retournement : la figure image est identique à la figure de départ, simplement déplacée. Exemple : dans un pavage, on passe d’un motif au motif voisin par une translation.

Définition 2 — image d’un point par une translation. L’image $M'$ d’un point $M$ par la translation qui transforme $A$ en $A'$ est le point tel que $AA'M'M$ soit un parallélogramme : on reporte depuis $M$ le même déplacement que de $A$ vers $A'$ . Exemple : sur quadrillage, si $A$ glisse de 3 carreaux vers la droite et 2 vers le haut, chaque point fait de même.

Définition 3 — symétrie axiale et demi-tour (rappels). Depuis la 5ème, tu connais ces deux transformations. La symétrie axiale d’axe $(d)$ retourne la figure comme dans un miroir. Le demi-tour (symétrie centrale) de centre $O$ fait tourner la figure de $180°$ autour de $O$ . Exemple : pour reconnaître la transformation utilisée, voir la Méthode 4.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — conservations de la translation. Une translation conserve :

les longueurs et les angles (la figure image est superposable à la figure de départ) ;
les aires et les périmètres ;
le parallélisme : l’image d’une droite est une droite parallèle.

Exemple : l’image d’un segment de 5 cm est un segment de 5 cm, parallèle au premier ; un angle de $40°$ reste un angle de $40°$ .

Propriété 2 — translation et parallélogramme. Si une translation transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$ , alors $[AA']$ et $[BB']$ ont même longueur, même direction et même sens : $ABB'A' \text{ est un parallélogramme, et } A'B' = AB$ Réciproquement, dans un parallélogramme $ABCD$ , la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $D$ en $C$ . Exemple : tous les points se déplacent de la même distance : si $AA' = 4$ cm, alors $BB' = 4$ cm.

Propriété 3 — translation sur quadrillage et dans un repère. Si la translation déplace de $a$ unités horizontalement et $b$ unités verticalement, l’image du point $(x\,;\,y)$ est le point $(x + a\,;\,y + b)$ . Exemple : la translation qui transforme $A(1\,;\,1)$ en $A'(4\,;\,3)$ déplace de $+3$ et $+2$ : l’image de $B(2\,;\,5)$ est $B'(5\,;\,7)$ .

Propriété 4 — points fixes des transformations. Une translation (non nulle) n’a aucun point fixe : tout glisse. Au contraire, la symétrie axiale fixe tous les points de son axe, et le demi-tour fixe son centre. Exemple : c’est pour cela qu’une translation se définit par un point et son image (une direction, un sens, une longueur), jamais par un centre.

Propriété 5 — translation et angles. Si $(d')$ est l’image de $(d)$ par une translation, alors $(d) \parallel (d')$ (Propriété 1). Toute sécante forme alors avec ces deux droites des angles correspondants égaux et des angles alternes-internes égaux. Exemple : si un angle correspondant mesure $48°$ , l’autre mesure aussi $48°$ .

Méthodes

Méthode 1 — construire l’image d’un point par une translation.

Lire le déplacement de $A$ à $A'$ : sur quadrillage, compter les carreaux horizontalement puis verticalement.
Reporter le même déplacement à partir du point $M$ : on complète le parallélogramme $AA'M'M$ (Définition 2).
Dans un repère : ajouter le déplacement aux coordonnées (Propriété 3).

Exemple résolu : la translation transforme $A(1\,;\,1)$ en $A'(4\,;\,3)$ , soit $+3$ en abscisse et $+2$ en ordonnée. L’image de $B(2\,;\,5)$ est $B'(2+3\,;\,5+2) = (5\,;\,7)$ .

Méthode 2 — démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme avec une translation.

Montrer que deux sommets sont les images des deux autres par une même translation.
Citer la Propriété 2 : $ABB'A'$ est un parallélogramme.

Exemple résolu : dans une frise, le motif 2 est l’image du motif 1 par une translation qui transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$ . Alors $ABB'A'$ est un parallélogramme — c’est ainsi qu’on identifie les parallélogrammes d’un pavage.

Méthode 3 — démontrer que deux droites sont parallèles.

Montrer que $(d')$ est l’image de $(d)$ par une translation.
Citer la Propriété 1 : l’image d’une droite est une droite parallèle, donc $(d) \parallel (d')$ .

Exemple résolu : si la translation qui transforme $A$ en $A'$ envoie la droite $(AB)$ sur la droite $(A'B')$ , alors $(AB) \parallel (A'B')$ ; toute sécante forme alors des angles correspondants égaux (Propriété 5).

Méthode 4 — reconnaître la transformation utilisée.

L’image est…	Transformation
simplement glissée, même orientation	translation
retournée comme dans un miroir (un « b » devient un « d »)	symétrie axiale
tournée de $180°$ (« la tête en bas »), sans retournement	demi-tour

Exemple résolu : dans un pavage, le motif voisin est obtenu par un glissement sans rotation ni retournement : c’est une translation. Les pavages de l’Alhambra ou les gravures d’Escher combinent translations, symétries axiales et demi-tours.

Pièges classiques

Piège 1 — une translation n’est pas une symétrie. Dans une symétrie axiale, la figure est retournée : un « b » devient un « d ». Dans une translation, un « b » reste un « b », simplement déplacé (Méthode 4).

Piège 2 — pas de centre, pas de point fixe. Une translation ne se définit pas par un centre : ce qui la définit, c’est un point et son image, c’est-à-dire une direction, un sens et une longueur (Propriété 4).

Piège 3 — le même déplacement pour tous. Pour construire une image, on reporte le déplacement de $A$ vers $A'$ — jamais un déplacement « vers $A'$ » : chaque point suit sa propre flèche, toutes identiques (Définition 2).

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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