Comment calculer la médiane d'une série ?

On range les valeurs dans l'ordre croissant. Si l'effectif total est impair, la médiane est la valeur du milieu. S'il est pair, c'est la moyenne des deux valeurs centrales.

Quelle différence entre moyenne et médiane ?

La moyenne tient compte de toutes les valeurs et peut être tirée par une valeur extrême. La médiane partage la série en deux moitiés de même effectif et n'est pas sensible aux valeurs extrêmes.

Quelles formules du tableur donnent la moyenne, la médiane et l'étendue ?

Si les valeurs sont dans les cellules A1 à A5 : =MOYENNE(A1:A5) pour la moyenne, =MEDIANE(A1:A5) pour la médiane et =MAX(A1:A5)-MIN(A1:A5) pour l'étendue. Le tableur trie lui-même les valeurs pour la médiane.

Statistiques : moyenne, médiane et étendue

Définitions

Définition 1 — effectif et fréquence (rappels de 5ᵉ). L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît dans la série ; l’effectif total $N$ est la somme des effectifs. La fréquence d’une valeur est $\dfrac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$ . Exemple : 12 élèves sur 48 vont au collège à vélo : fréquence $\dfrac{12}{48} = 0{,}25 = 25\,\%$ .

Définition 2 — moyenne pondérée. Quand une série est donnée par un tableau d’effectifs (ou un diagramme en barres), chaque valeur compte autant de fois que son effectif :

$\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots}{N}$

La moyenne simple (somme des valeurs divisée par $N$ ) en est le cas particulier où tous les effectifs valent 1. Exemple : âges d’un club d’échecs — 5 adhérents de 11 ans, 20 de 13 ans, 9 de 14 ans, 2 de 15 ans : $\bar{x} = \dfrac{5 \times 11 + 20 \times 13 + 9 \times 14 + 2 \times 15}{36} = \dfrac{471}{36} \approx 13{,}08$ ans.

Définition 3 — médiane. La médiane d’une série est une valeur qui partage la série ordonnée en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales. Exemple : « la médiane des tailles est 165 cm » signifie que la moitié des élèves mesurent 165 cm ou moins — pas que la taille moyenne est 165 cm.

Définition 4 — étendue. L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $\text{étendue} = \max - \min$ . Elle mesure la dispersion des valeurs. Exemple : la série $12\,;7\,;15\,;9\,;11$ a pour étendue $15 - 7 = 8$ . Les séries $9\,;10\,;11$ et $1\,;10\,;19$ ont la même médiane 10, mais des étendues de 2 et de 18.

Propriétés

Propriété 1 — rang de la médiane. Dans une série ordonnée d’effectif total $N$ :

si $N$ est impair, la médiane est la valeur du milieu, de rang $\dfrac{N+1}{2}$ ;
si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2} + 1$ .

Exemple : pour $N = 5$ , la médiane est la 3ᵉ valeur ; pour $N = 36$ , c’est la moyenne des 18ᵉ et 19ᵉ valeurs.

Propriété 2 — effet d’une valeur extrême. La moyenne utilise toutes les valeurs : une valeur extrême la déplace. La médiane n’utilise que la position des valeurs : une valeur extrême ne la change presque pas.

	Moyenne	Médiane
Utilise…	toutes les valeurs	la position des valeurs
Sensible aux extrêmes ?	oui	non
Interprétation	« si tout était réparti également »	« la moitié en dessous, la moitié au-dessus »

Exemple : salaires $1500\,;1600\,;1700\,;1800\,;9000$ € : moyenne $3120$ €, médiane $1700$ €. Le salaire de 9000 € tire la moyenne vers le haut sans toucher la médiane.

Propriété 3 — angles d’un diagramme circulaire. Dans un diagramme circulaire, les angles sont proportionnels aux effectifs : $\text{angle} = \dfrac{\text{effectif}}{N} \times 360^\circ$ . Exemple : pour le club d’échecs (36 adhérents), un adhérent vaut $360 \div 36 = 10^\circ$ : les 20 adhérents de 13 ans occupent $200^\circ$ .

Propriété 4 — formules du tableur. Pour des valeurs saisies dans les cellules A1 à A5 :

Indicateur	Formule
Moyenne	`=MOYENNE(A1:A5)`
Médiane	`=MEDIANE(A1:A5)`
Étendue	`=MAX(A1:A5)-MIN(A1:A5)`

Le tableur trie lui-même les valeurs pour la médiane. Exemple : =A5-A1 ne donne l’étendue que si les valeurs sont déjà triées — =MAX(...)-MIN(...) fonctionne toujours.

Méthodes

Méthode 1 — calculer une moyenne pondérée.

Multiplier chaque valeur par son effectif, puis additionner ces produits.
Diviser par l’effectif total $N$ (et non par le nombre de valeurs différentes).

Exemple : club d’échecs : $\dfrac{5 \times 11 + 20 \times 13 + 9 \times 14 + 2 \times 15}{36} = \dfrac{55 + 260 + 126 + 30}{36} = \dfrac{471}{36} \approx 13{,}08$ ans.

Méthode 2 — déterminer une médiane.

Ranger la série dans l’ordre croissant — étape obligatoire.
Effectif impair : prendre la valeur du milieu ; effectif pair : la moyenne des deux valeurs centrales (Propriété 1).

Exemple (impair) : $12\,;7\,;15\,;9\,;11$ rangée en $7\,;9\,;\boxed{11}\,;12\,;15$ : médiane $11$ . Exemple (pair) : $4\,;8\,;2\,;10\,;6\,;12$ rangée en $2\,;4\,;\boxed{6}\,;\boxed{8}\,;10\,;12$ : médiane $\dfrac{6+8}{2} = 7$ .

Méthode 3 — médiane d’un tableau d’effectifs.

Calculer l’effectif total $N$ et les rangs des valeurs centrales (Propriété 1).
Repérer, groupe par groupe, dans quelle valeur tombent ces rangs — sans réécrire toute la série.

Exemple : club d’échecs, $N = 36$ : médiane = moyenne des 18ᵉ et 19ᵉ valeurs. Les rangs 1 à 5 valent 11 ans, les rangs 6 à 25 valent 13 ans : les 18ᵉ et 19ᵉ valeurs sont toutes deux 13. La médiane est 13 ans.

Méthode 4 — calculer une étendue et comparer deux séries.

Étendue : repérer le maximum et le minimum, puis soustraire (Définition 4).
Pour comparer deux séries, utiliser un indicateur de position (moyenne ou médiane) et un indicateur de dispersion (étendue).

Exemple : notes sur cinq contrôles — Anna $10\,;11\,;12\,;13\,;14$ , Bilal $4\,;8\,;12\,;16\,;20$ : mêmes moyenne (12) et médiane (12), mais étendues 4 et 16 : Anna est régulière, Bilal très irrégulier.

Méthode 5 — choisir entre moyenne et médiane.

Repérer les éventuelles valeurs extrêmes de la série.
S’il y en a, la médiane décrit mieux une valeur « typique » ; la moyenne reste utile pour les totaux (Propriété 2).

Exemple : salaires $1500\,;1600\,;1700\,;1800\,;9000$ € : si l’on ajoute un sixième salaire de 20 000 €, la moyenne bondit de 3120 € à $35\,600 \div 6 \approx 5933$ €, tandis que la médiane passe de 1700 € à $\dfrac{1700 + 1800}{2} = 1750$ € : elle bouge à peine.

Méthode 6 — calculer avec un tableur.

Saisir les valeurs dans une plage de cellules (par exemple A1:A5).
Utiliser les formules de la Propriété 4 ; modifier une valeur et observer quels indicateurs changent.

Exemple : avec les salaires en A1:A5, =MOYENNE(A1:A5) donne 3120 et =MEDIANE(A1:A5) donne 1700. Si l’on remplace 9000 par 1900, la moyenne se recalcule aussitôt (1700) alors que la médiane ne bouge pas.

Pièges classiques

Une médiane se calcule sur une série ordonnée. Pour $12\,;7\,;15\,;9\,;11$ , prendre la valeur du milieu sans trier donnerait 15, ce qui est faux : la médiane est 11 (Méthode 2).

Médiane ≠ moyenne ≠ valeur la plus fréquente. « La médiane est 165 cm » signifie que la moitié des élèves mesurent 165 cm ou moins — rien de plus (Définition 3).

Moyenne pondérée : diviser par l’effectif total. Pour le club d’échecs, on divise 471 par 36 (les adhérents), pas par 4 (les âges différents) (Méthode 1).

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Propriétés

Méthodes

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