Comment représente-t-on un cône en perspective cavalière ?

La base circulaire est dessinée comme une ellipse, avec la partie arrière en pointillés. On place le sommet à la verticale du centre et on trace les deux génératrices extrêmes.

De quoi est composé le patron d'une pyramide ?

De la base (un polygone) et d'autant de triangles que la base a de côtés, chacun attaché à un côté de la base. Le patron d'un cône est formé d'un disque et d'un secteur circulaire.

Quelle est la formule du volume d'une pyramide ou d'un cône ?

$V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. Pour un cône de rayon $r$, la base est un disque : $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$. C'est le tiers du volume du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur.

Pyramides et cônes : représentations et volumes

Définitions

Définition 1 — pyramide. Une pyramide est un solide dont la base est un polygone et dont les faces latérales sont des triangles qui se rejoignent en un même point, le sommet. Sa hauteur est la distance du sommet au plan de la base, mesurée perpendiculairement. Une pyramide est régulière quand son sommet est à la verticale du centre de la base : ses faces latérales sont alors des triangles isocèles identiques. Exemple : une pyramide à base carrée a 4 faces latérales triangulaires.

Définition 2 — cône de révolution. Un cône de révolution est un solide dont la base est un disque et dont le sommet est situé à la verticale du centre de la base. Un segment joignant le sommet à un point du cercle de base est une génératrice. La hauteur joint le sommet au centre de la base, perpendiculairement. Exemple : un cornet de glace a la forme d’un cône ; la génératrice est plus longue que la hauteur.

Définition 3 — patron d’un solide. Le patron d’un solide est une figure plane qui, une fois découpée et pliée, permet de reconstruire le solide : toutes ses faces y figurent en vraie grandeur. Exemple : le patron d’un cube est formé de 6 carrés.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — faces, arêtes et sommets d’une pyramide. Une pyramide dont la base a $n$ côtés possède $n + 1$ faces, $2n$ arêtes et $n + 1$ sommets.

Base	Faces	Arêtes	Sommets
Triangle	4	6	4
Carré	5	8	5
Hexagone	7	12	7
Polygone à $n$ côtés	$n + 1$	$2n$	$n + 1$

Exemple : la pyramide à base triangulaire (tétraèdre) a 4 faces, toutes triangulaires.

Propriété 2 — règles de la perspective cavalière.

Règle	Détail
Faces de face	en vraie grandeur
Arêtes fuyantes	parallèles entre elles, raccourcies (souvent de moitié), inclinées à 45°
Arêtes cachées	en pointillés
Parallélisme	conservé

Exemple : dans un pavé droit, un seul sommet est caché : les trois arêtes qui en partent sont en pointillés. Le cercle de base d’un cône, vu de biais, devient une ellipse.

Propriété 3 — patrons de la pyramide et du cône. Le patron d’une pyramide contient la base et un triangle par côté de la base, chacun attaché à ce côté. Le patron d’un cône de révolution est formé d’un disque (la base) et d’un secteur circulaire (la surface latérale déroulée), dont le rayon est la longueur d’une génératrice. Exemple : le patron d’une pyramide à base carrée contient un carré et 4 triangles ; si la pyramide est régulière, ces triangles sont isocèles et identiques.

Propriété 4 — volume de la pyramide et du cône. $V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$ C’est le tiers du volume du prisme ou du cylindre de même base et de même hauteur : trois pyramides identiques remplissent exactement le prisme correspondant. Pour un cône de rayon $r$ : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ . Exemple : la pyramide du Louvre, base carrée de 35 m et hauteur 21,6 m : $V = \dfrac{35^2 \times 21{,}6}{3} \approx 8\,820$ m³.

Propriété 5 — volumes des solides connus (rappels). Depuis la 5ème :

Solide	Volume
Cube de côté $c$	$c^3$
Pavé droit	$L \times \ell \times h$
Prisme droit, cylindre	aire de la base $\times$ hauteur

Exemple : un pavé de 5 cm × 4 cm × 3 cm a un volume de 60 cm³.

Méthodes

Méthode 1 — compter les faces, arêtes et sommets d’une pyramide.

Compter le nombre $n$ de côtés du polygone de base.
Appliquer la Propriété 1 : $n + 1$ faces (la base + $n$ triangles), $2n$ arêtes ( $n$ pour la base + $n$ vers le sommet), $n + 1$ sommets.

Exemple résolu : pyramide à base hexagonale : $n = 6$ , donc $7$ faces, $12$ arêtes et $7$ sommets.

Méthode 2 — dessiner une pyramide ou un cône en perspective cavalière.

Pyramide : dessiner la base comme celle d’un pavé (un parallélogramme), placer le sommet (à la verticale du centre pour une pyramide régulière), tracer les arêtes latérales, mettre les arêtes cachées en pointillés (Propriété 2).
Cône : dessiner la base en ellipse (moitié arrière en pointillés), placer le sommet à la verticale du centre, tracer les deux génératrices extrêmes du sommet aux bords de l’ellipse.

Exemple résolu : pour un cône, on trace exactement 2 génératrices sur le dessin — les autres sont sous-entendues.

Méthode 3 — calculer le volume d’une pyramide.

Calculer l’aire de la base (carré : $c^2$ ; rectangle : $L \times \ell$ ; triangle : $\dfrac{b \times h}{2}$ ).
Multiplier par la hauteur de la pyramide.
Diviser par 3 (Propriété 4) et donner l’unité en cm³, m³…

Exemple résolu : pyramide à base rectangulaire de 8 cm sur 5 cm, hauteur 9 cm : aire de la base $= 40$ cm², $V = \dfrac{40 \times 9}{3} = 120$ cm³. Sans le tiers, on obtiendrait le volume du pavé, 360 cm³.

Méthode 4 — calculer le volume d’un cône.

Aire de la base : $\pi r^2$ (attention : $r$ est le rayon, la moitié du diamètre).
Multiplier par la hauteur, puis diviser par 3 : $V = \dfrac{\pi r^2 h}{3}$ (Propriété 4).
Donner la valeur exacte avec $\pi$ , puis une valeur approchée si demandé.

Exemple résolu : cône de rayon 2 cm et de hauteur 6 cm : $V = \dfrac{\pi \times 2^2 \times 6}{3} = \dfrac{24\pi}{3} = 8\pi \approx 25{,}1$ cm³.

Méthode 5 — retrouver une dimension à partir du volume.

Écrire la formule $V = \dfrac{B \times h}{3}$ avec les valeurs connues.
Isoler l’inconnue : $B = \dfrac{3V}{h}$ ou $h = \dfrac{3V}{B}$ .

Exemple résolu : un cône a un volume de 50 cm³ et une hauteur de 6 cm. Son aire de base vaut $B = \dfrac{3 \times 50}{6} = 25$ cm².

Pièges classiques

Piège 1 — la hauteur n’est pas une arête. Dans une pyramide, la hauteur est le segment perpendiculaire à la base issu du sommet : elle est en général plus courte que les arêtes latérales. De même, pour un cône, la hauteur n’est pas la génératrice (Définitions 1 et 2).

Piège 2 — l’oubli du ÷ 3. Sans lui, on calcule le volume du prisme ou du cylindre, trois fois trop grand (Propriété 4) : 360 cm³ au lieu de 120 cm³.

Piège 3 — patron du cône. Le patron d’un cône n’est pas « un disque et un triangle » : la surface latérale déroulée est un secteur circulaire (Propriété 3). Deux disques et un rectangle forment le patron d’un cylindre, pas d’un cône.

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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