Comment reconnaître un parallélogramme sur une figure codée ?

On cherche l'un des codages caractéristiques : côtés opposés parallèles (chevrons), côtés opposés de même longueur deux à deux, ou diagonales qui se coupent en leur milieu. Un seul de ces indices suffit.

Comment démontrer qu'un quadrilatère est un rectangle avec Pythagore ?

On montre d'abord que c'est un parallélogramme, puis on prouve qu'un de ses angles est droit avec la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle formé par deux côtés consécutifs et une diagonale.

Quel est le lien entre translation et parallélogramme ?

Si une translation transforme A en A' et B en B', alors les segments [AA'] et [BB'] ont même longueur, même direction et même sens : ABB'A' est un parallélogramme. Réciproquement, dans un parallélogramme ABCD, la translation qui transforme A en B transforme D en C.

Quiz Maths 4ème : Parallélogrammes, translation et démonstrations

Définitions

Définition 1 — parallélogramme. Un parallélogramme est un quadrilatère (non croisé) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux. Exemple : $ABCD$ avec $(AB) \parallel (DC)$ et $(AD) \parallel (BC)$ . Ces propriétés, vues en 5ème, servent cette année d’automatismes : on doit reconnaître un parallélogramme d’un coup d’œil sur une figure codée.

Définition 2 — rectangle, losange, carré. Ce sont les parallélogrammes particuliers :

le rectangle a quatre angles droits ;
le losange a quatre côtés de même longueur ;
le carré est à la fois un rectangle et un losange (quatre angles droits et quatre côtés égaux).

Exemple : tout carré est donc aussi un rectangle et un losange — l’inverse est faux.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — propriétés du parallélogramme. Dans un parallélogramme :

les diagonales se coupent en leur milieu (le centre de la figure) ;
les côtés opposés ont la même longueur ;
les angles opposés sont égaux et deux angles consécutifs sont supplémentaires ( $\widehat{A} + \widehat{B} = 180°$ ).

Exemple : si $\widehat{A} = 70°$ , alors $\widehat{B} = 110°$ et $\widehat{C} = 70°$ .

Propriété 2 — reconnaître un parallélogramme. Un quadrilatère (non croisé) est un parallélogramme dès que l’un de ces indices apparaît sur la figure codée :

Codage	Indice
chevrons sur les côtés opposés	côtés opposés parallèles (définition)
côtés opposés marqués de même longueur	côtés opposés deux à deux égaux
diagonales marquées de même milieu	diagonales qui se coupent en leur milieu
deux côtés opposés parallèles et de même longueur

Exemple : $EFGH$ avec $EF = HG$ et $FG = EH$ codés : c’est un parallélogramme — sans plus d’information, rien ne permet de dire qu’il est rectangle ou losange.

Propriété 3 — reconnaître un rectangle. Un parallélogramme est un rectangle dès qu’il a un angle droit ou des diagonales de même longueur. Exemple : un parallélogramme dont les diagonales mesurent toutes les deux 9 cm est un rectangle.

Propriété 4 — reconnaître un losange. Un parallélogramme est un losange dès qu’il a deux côtés consécutifs égaux ou des diagonales perpendiculaires. Exemple : un parallélogramme $ABCD$ avec $AB = BC$ est un losange (ses quatre côtés sont alors égaux).

Propriété 5 — reconnaître un carré. Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur et perpendiculaires est un carré. C’est la combinaison des Propriétés 3 et 4 : rectangle et losange à la fois. Exemple : diagonales de même milieu, de même longueur et perpendiculaires → carré.

Propriété 6 — translation et parallélogramme. Si une translation transforme $A$ en $A'$ et $B$ en $B'$ , alors $[AA']$ et $[BB']$ ont même longueur, même direction et même sens : $ABB'A'$ est un parallélogramme (et $A'B' = AB$ ). Réciproquement, dans un parallélogramme $ABCD$ , la translation qui transforme $A$ en $B$ transforme $D$ en $C$ . Exemple : c’est ainsi que l’on repère les parallélogrammes dans une frise ou un pavage.

Méthodes

Méthode 1 — démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

Chercher une propriété caractéristique (Propriété 2) : diagonales de même milieu, côtés opposés deux à deux égaux, ou deux côtés opposés parallèles et de même longueur.
Ou montrer que deux sommets sont les images des deux autres par une même translation (Propriété 6).
Citer la propriété utilisée et conclure.

Exemple résolu : les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ de $ABCD$ se coupent en leur milieu $O$ . D’après la Propriété 2, $ABCD$ est un parallélogramme — rien de plus : sans autre indice, on ne peut pas dire qu’il est rectangle ou losange.

Méthode 2 — démontrer qu’un parallélogramme est un rectangle, un losange ou un carré. Démonstration en deux étapes :

Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme (Méthode 1).
Ajouter la propriété du cas particulier : angle droit (souvent obtenu par la réciproque du théorème de Pythagore) ou diagonales égales → rectangle (Propriété 3) ; côtés consécutifs égaux ou diagonales perpendiculaires → losange (Propriété 4) ; les deux → carré (Propriété 5).

Exemple résolu : $ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 6$ , $AD = 8$ et $BD = 10$ . Dans le triangle $ABD$ : $BD^2 = 100$ et $AB^2 + AD^2 = 36 + 64 = 100$ . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, $ABD$ est rectangle en $A$ . Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle (Propriété 3). Ses côtés 6 et 8 étant différents, ce n’est pas un carré.

Méthode 3 — calculer une longueur avec le théorème de Pythagore.

Diagonale d’un rectangle : les angles sont droits, la diagonale est l’hypoténuse du triangle formé par deux côtés : $d^2 = a^2 + b^2$ .
Côté d’un losange : les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu ; chaque quart du losange est un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit sont les demi-diagonales.

Exemple résolu : un losange $ABCD$ a pour diagonales $AC = 6$ et $BD = 8$ . Elles se coupent perpendiculairement en leur milieu $O$ : $OA = 3$ et $OB = 4$ . Dans $AOB$ rectangle en $O$ : $AB^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ , donc $AB = 5$ cm.

Méthode 4 — utiliser la translation.

Construire l’image d’un point par une translation : on complète un parallélogramme (Propriété 6).
Identifier un parallélogramme dans une frise ou un pavage : deux points et leurs images par la même translation forment un parallélogramme.

Exemple résolu : $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par une translation, avec $AB = AA'$ . $ABB'A'$ est un parallélogramme (Propriété 6) qui a deux côtés consécutifs égaux : c’est un losange (Propriété 4).

Méthode 5 — calculer un angle dans un parallélogramme.

Angles opposés : égaux.
Angles consécutifs : supplémentaires (somme $180°$ ), d’après la Propriété 1.

Exemple résolu : dans un parallélogramme $ABCD$ , $\widehat{A} = 70°$ . Alors $\widehat{B} = 180° - 70° = 110°$ (consécutif) et $\widehat{C} = 70°$ (opposé).

Pièges classiques

Piège 1 — « diagonales perpendiculaires » ne suffit pas pour un losange. Un cerf-volant a aussi des diagonales perpendiculaires sans être un losange. Il faut d’abord savoir que la figure est un parallélogramme (Méthode 1), puis ajouter la perpendicularité (Propriété 4).

Piège 2 — « diagonales égales » ne suffit pas pour un rectangle. Le trapèze isocèle a des diagonales de même longueur sans être un rectangle. Là encore, l’étape « parallélogramme » est obligatoire avant la Propriété 3.

Piège 3 — conclure trop fort. Un parallélogramme à diagonales perpendiculaires est un losange, pas forcément un carré : il faudrait en plus des diagonales de même longueur (Propriété 5).

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