Quiz — Quadrilatères

Question 1 : $ABCD$ est un quadrilatère dont les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu $O$. Que peut-on démontrer ?

• ✓ $ABCD$ est un parallélogramme
• $ABCD$ est un rectangle
• $ABCD$ est un losange
• On ne peut rien conclure

Explication : « Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme » : c'est une propriété caractéristique. Rien ne permet de dire qu'il est rectangle ou losange.

Question 2 : Sur une figure codée, le quadrilatère $EFGH$ a $EF = HG$ et $FG = EH$ (côtés opposés codés de même longueur). Quelle est sa nature ?

• ✓ Un parallélogramme
• Forcément un rectangle
• Forcément un losange
• Un trapèze

Explication : Un quadrilatère non croisé dont les côtés opposés sont deux à deux de même longueur est un parallélogramme. Sans angle droit ni côtés consécutifs égaux, on ne peut pas dire plus.

Question 3 : $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur. Quelle est sa nature ?

• ✓ Un rectangle
• Un losange
• Un carré
• Un parallélogramme quelconque

Explication : Un parallélogramme dont les diagonales sont de même longueur est un rectangle. Pour conclure à un carré, il faudrait en plus des diagonales perpendiculaires (ou deux côtés consécutifs égaux).

Question 4 : $ABCD$ est un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires. Quelle est sa nature ?

• ✓ Un losange
• Un rectangle
• Un carré
• Un trapèze

Explication : Un parallélogramme dont les diagonales sont perpendiculaires est un losange. Pour conclure à un carré, il faudrait en plus des diagonales de même longueur (ou un angle droit).

Question 5 : Un quadrilatère a des diagonales perpendiculaires. Est-ce forcément un losange ?

• ✓ Non : un cerf-volant a aussi des diagonales perpendiculaires
• Oui, toujours
• Oui, si ses diagonales sont de même longueur
• Non : ce serait un rectangle

Explication : La propriété « diagonales perpendiculaires → losange » ne vaut que pour un parallélogramme. Un cerf-volant a des diagonales perpendiculaires sans être un losange. Il faut d'abord prouver que le quadrilatère est un parallélogramme.

Question 6 : $ABCD$ est un parallélogramme avec $AB = 6$ cm, $AD = 8$ cm et $BD = 10$ cm. Quelle est sa nature ?

• ✓ Un rectangle
• Un losange
• Un carré
• Un parallélogramme quelconque

Explication : Dans le triangle $ABD$ : $BD^2 = 100$ et $AB^2 + AD^2 = 36 + 64 = 100$. D'après la réciproque de Pythagore, $ABD$ est rectangle en $A$. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Ses côtés 6 et 8 sont différents : ce n'est pas un carré.

Question 7 : Dans un carré de côté $4$ cm, quelle est la valeur exacte de la longueur d'une diagonale ?

• ✓ $\sqrt{32}$ cm, soit environ $5{,}7$ cm
• $8$ cm
• $4$ cm
• $16$ cm

Explication : Le carré a des angles droits : dans le triangle rectangle formé par deux côtés et la diagonale, le théorème de Pythagore donne $d^2 = 4^2 + 4^2 = 32$, donc $d = \sqrt{32} \approx 5{,}7$ cm.

Question 8 : Un losange $ABCD$ a pour diagonales $AC = 6$ cm et $BD = 8$ cm. Quelle est la longueur de son côté ?

• ✓ $5$ cm
• $7$ cm
• $10$ cm
• $\sqrt{14}$ cm

Explication : Les diagonales d'un losange sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu $O$ : $OA = 3$ et $OB = 4$. Dans le triangle $AOB$ rectangle en $O$, Pythagore donne $AB^2 = 9 + 16 = 25$, donc $AB = 5$ cm.

Question 9 : $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par une translation, et $AB = AA'$. Quelle est la nature de $ABB'A'$ ?

• ✓ Un losange
• Un rectangle
• Un trapèze quelconque
• Un carré

Explication : Par la translation, $ABB'A'$ est un parallélogramme. Comme deux côtés consécutifs $[AB]$ et $[AA']$ ont la même longueur, c'est un losange. Sans angle droit, on ne peut pas conclure à un carré.

Question 10 : $ABCD$ est un parallélogramme avec $\widehat{A} = 70°$. Que mesure l'angle $\widehat{B}$ ?

• ✓ $110°$
• $70°$
• $290°$
• $20°$

Explication : Dans un parallélogramme, deux angles consécutifs sont supplémentaires : $\widehat{B} = 180° - 70° = 110°$. L'angle opposé $\widehat{C}$ vaut $70°$.