Comment savoir si un triangle est rectangle avec ses trois côtés ?

On compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres. S'il y a égalité, le triangle est rectangle (réciproque de Pythagore) ; sinon, il ne l'est pas (contraposée).

Quelle différence entre la réciproque et la contraposée ?

Pour l'énoncé « si P alors Q », la réciproque est « si Q alors P » : elle n'est pas automatiquement vraie. La contraposée est « si non Q alors non P » : elle est toujours vraie en même temps que l'énoncé de départ. Pour Pythagore, réciproque et contraposée sont toutes les deux vraies.

Où est le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle ?

Au milieu de l'hypoténuse. Le cercle circonscrit a donc pour diamètre l'hypoténuse, et son rayon vaut la moitié de l'hypoténuse.

Pythagore, droite des milieux et cercle circonscrit

Définitions

Définition 1 — hypoténuse. Dans un triangle rectangle, l’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit. C’est toujours le plus grand des trois côtés. Exemple : si $ABC$ est rectangle en $A$ , son hypoténuse est $[BC]$ , le côté qui ne touche pas le sommet $A$ .

Définition 2 — réciproque et contraposée d’un énoncé. Pour un énoncé de la forme « si P alors Q » :

la réciproque est « si Q alors P » : elle n’est pas automatiquement vraie ;
la contraposée est « si non Q alors non P » : elle est toujours vraie en même temps que l’énoncé de départ.

Exemple : « si un nombre est divisible par 4, alors il est pair » est vrai, mais sa réciproque est fausse (6 est pair sans être divisible par 4). Sa contraposée « si un nombre est impair, alors il n’est pas divisible par 4 » est vraie.

Définition 3 — cercle circonscrit à un triangle. Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle qui passe par ses trois sommets. Exemple : dire que $ABC$ est inscrit dans un cercle, c’est dire que ce cercle est son cercle circonscrit.

Théorèmes et propriétés

Théorème 1 (Pythagore). Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ , alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Exemple : $ABC$ rectangle en $A$ avec $AB = 3$ et $AC = 4$ : $BC^2 = 9 + 16 = 25$ , donc $BC = 5$ .

Théorème 2 (réciproque de Pythagore). Si, dans un triangle $ABC$ , $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (avec $[BC]$ le plus grand côté), alors le triangle est rectangle en $A$ . Exemple : un triangle de côtés 3, 4 et 5 vérifie $5^2 = 3^2 + 4^2 = 25$ : il est rectangle. C’est le principe de la corde à 13 nœuds des bâtisseurs.

Propriété 1 — contraposée du théorème de Pythagore. Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$ (avec $[BC]$ le plus grand côté), alors le triangle n’est pas rectangle. Exemple : côtés 5, 7 et 9 : $9^2 = 81$ et $5^2 + 7^2 = 74$ . Pas d’égalité : le triangle n’est pas rectangle.

Théorème 3 (droite des milieux). Dans un triangle $ABC$ , si $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$ , alors $(MN) \parallel (BC) \qquad \text{et} \qquad MN = \dfrac{BC}{2}$ Exemple : si $BC = 8$ cm, alors $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = 4$ cm.

Théorème 4 (réciproque de la droite des milieux). Dans un triangle $ABC$ , si $M$ est le milieu de $[AB]$ et si la droite parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$ , alors $N$ est le milieu de $[AC]$ . Ce théorème permet de prouver qu’un point est un milieu. Exemple : si $AC = 14$ cm, alors $AN = 7$ cm.

Théorème 5 (cercle circonscrit au triangle rectangle). Si $ABC$ est rectangle en $A$ , alors son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse $[BC]$ : son centre est le milieu de $[BC]$ et son rayon vaut $\dfrac{BC}{2}$ . Autre formulation : dans un triangle rectangle, la médiane issue de l’angle droit mesure la moitié de l’hypoténuse. Exemple : $BC = 10$ cm : centre au milieu de $[BC]$ , rayon 5 cm.

Théorème 6 (triangle inscrit dans un demi-cercle). Si un triangle $AMB$ est inscrit dans un cercle de diamètre $[AB]$ (avec $M$ distinct de $A$ et de $B$ ), alors il est rectangle en $M$ : l’angle droit est au sommet opposé au diamètre. Exemple : $M$ sur un cercle de diamètre $[AB]$ : $AMB$ est rectangle en $M$ , et on peut y appliquer le Théorème 1.

Méthodes

Méthode 1 — calculer une longueur avec le théorème de Pythagore.

Vérifier que le triangle est rectangle et repérer l’hypoténuse.
Écrire l’égalité du Théorème 1.
Pour l’hypoténuse : additionner les deux carrés. Pour un autre côté : soustraire.
Prendre la racine carrée ; si le résultat n’est pas un carré parfait, garder la valeur exacte avec $\sqrt{\phantom{x}}$ .

Exemple résolu : une échelle de 13 m est posée contre un mur, ses pieds à 5 m du mur. Le triangle est rectangle au pied du mur et l’échelle est l’hypoténuse : $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$ , donc $h = \sqrt{144} = 12$ m.

Méthode 2 — démontrer qu’un triangle est rectangle (ou ne l’est pas).

Calculer séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres.
Comparer les deux résultats.
Égalité → citer le Théorème 2 (réciproque de Pythagore) : le triangle est rectangle (l’angle droit est opposé au plus grand côté). Pas d’égalité → citer la Propriété 1 (contraposée) : il n’est pas rectangle.

Exemple résolu : une étagère forme un triangle de côtés $TR = 40$ , $RS = 42$ et $ST = 58$ cm. $58^2 = 3364$ et $40^2 + 42^2 = 1600 + 1764 = 3364$ . Égalité : d’après la réciproque, le triangle est rectangle en $R$ — l’étagère est bien horizontale.

Méthode 3 — utiliser la droite des milieux.

Repérer dans l’énoncé (ou sur les codages) deux milieux de deux côtés d’un même triangle.
Citer le Théorème 3 : le segment qui les joint est parallèle au troisième côté et mesure sa moitié.

Exemple résolu : dans $ABC$ , $M$ et $N$ sont les milieux de $[AB]$ et $[AC]$ , et $BC = 12$ cm. D’après le Théorème 3, $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = \dfrac{12}{2} = 6$ cm.

Méthode 4 — démontrer qu’un point est un milieu.

Repérer un milieu d’un côté et une parallèle à un deuxième côté passant par ce milieu.
Citer le Théorème 4 : la parallèle coupe le troisième côté en son milieu.

Exemple résolu : $M$ est le milieu de $[AB]$ et la parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$ . D’après le Théorème 4, $N$ est le milieu de $[AC]$ : si $AC = 14$ cm, alors $AN = NC = 7$ cm.

Méthode 5 — utiliser le cercle circonscrit d’un triangle rectangle.

Si le triangle est rectangle : son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse (Théorème 5) → rayon $= \dfrac{\text{hypoténuse}}{2}$ .
Si le triangle est inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre : il est rectangle (Théorème 6), et on peut appliquer le Théorème 1.

Exemple résolu : $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 6$ et $AC = 8$ . D’abord $BC^2 = 36 + 64 = 100$ , donc $BC = 10$ (Théorème 1). Le rayon du cercle circonscrit vaut $\dfrac{10}{2} = 5$ cm (Théorème 5).

Méthode 6 — construire un angle droit ou un rectangle sans équerre.

Avec une corde à 13 nœuds : former un triangle de côtés 3, 4 et 5. Comme $5^2 = 3^2 + 4^2$ , il est rectangle (Théorème 2) : on obtient un angle droit.
Avec un compas : tracer un cercle de centre $O$ puis deux diamètres $[AC]$ et $[BD]$ . Les diagonales de $ABCD$ ont la même longueur et le même milieu $O$ : $ABCD$ est un rectangle. Chaque angle est droit car chaque triangle, $ABC$ par exemple, est inscrit dans un cercle dont un côté est un diamètre (Théorème 6).

Exemple résolu : cercle de rayon 4 cm, deux diamètres : on obtient un rectangle dont les diagonales mesurent 8 cm.

Pièges classiques

Piège 1 — citer le bon énoncé. Pour calculer une longueur, on cite le Théorème 1. Pour prouver qu’un triangle est rectangle, on cite le Théorème 2 (la réciproque). Pour prouver qu’il n’est pas rectangle, on cite la Propriété 1 (la contraposée). Ce sont trois énoncés différents : une réciproque n’est jamais « automatique », même si pour Pythagore elle est vraie.

Piège 2 — Pythagore ne sert qu’aux triangles rectangles. Sans angle droit (connu ou démontré), l’égalité $BC^2 = AB^2 + AC^2$ n’a aucune raison d’être vraie.

Piège 3 — l’hypoténuse d’abord. Avant tout calcul, repérer le plus grand côté : c’est son carré qui est seul d’un côté de l’égalité. Pour un côté de l’angle droit, on soustrait ( $AC^2 = BC^2 - AB^2$ ), on n’additionne pas.

Définitions

Théorèmes et propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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