Quiz — Théorème de Pythagore

Question 1 : Une échelle de 13 m est posée contre un mur, ses pieds à 5 m de la base du mur. Quelle hauteur atteint-elle ?

• ✓ $12$ m
• $8$ m
• $18$ m
• $\sqrt{194}$ m

Explication : Le triangle est rectangle au pied du mur. $h^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$, donc $h = 12$ m.

Question 2 : $ABC$ est rectangle en $A$ avec $AB = 3$ cm et $AC = 5$ cm. Quelle est la valeur exacte de $BC$ ?

• ✓ $\sqrt{34}$ cm
• $8$ cm
• $4$ cm
• $34$ cm

Explication : $BC^2 = 3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34$. Comme 34 n'est pas un carré parfait, on garde la valeur exacte $BC = \sqrt{34} \approx 5{,}83$ cm.

Question 3 : Un triangle a pour côtés 40 cm, 42 cm et 58 cm. Est-il rectangle ?

• ✓ Oui, car $58^2 = 40^2 + 42^2$
• Non, car $58^2 \neq 40^2 + 42^2$
• Oui, car $58 = 40 + 42 - 24$
• On ne peut pas savoir

Explication : $58^2 = 3364$ et $40^2 + 42^2 = 1600 + 1764 = 3364$. Égalité : d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle.

Question 4 : Un triangle a pour côtés 5 cm, 7 cm et 9 cm. Est-il rectangle ?

• Oui
• ✓ Non, car $81 \neq 25 + 49$
• Oui, car $9 > 7 > 5$
• Non, car aucun côté ne mesure 10 cm

Explication : $9^2 = 81$ et $5^2 + 7^2 = 74$. Pas d'égalité : d'après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.

Question 5 : On considère l'énoncé : « Si $ABC$ est rectangle en $A$, alors $BC^2 = AB^2 + AC^2$ ». Quelle est sa contraposée ?

• Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ est rectangle en $A$
• ✓ Si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle en $A$
• Si $ABC$ n'est pas rectangle en $A$, alors $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$
• Si $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle en $A$

Explication : La contraposée de « si P alors Q » est « si non Q alors non P ». Ici : « si $BC^2 \neq AB^2 + AC^2$, alors $ABC$ n'est pas rectangle en $A$ ». La première proposition est la réciproque, la troisième est la contraposée de la réciproque.

Question 6 : Dans un triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$ et $N$ le milieu de $[AC]$. $BC = 8$ cm. Que peut-on affirmer ?

• ✓ $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = 4$ cm
• $(MN) \perp (BC)$ et $MN = 4$ cm
• $(MN) \parallel (BC)$ et $MN = 8$ cm
• $MN = 2$ cm

Explication : Droite des milieux : le segment qui joint les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et mesure la moitié de sa longueur : $MN = \frac{8}{2} = 4$ cm.

Question 7 : Dans un triangle $ABC$, $M$ est le milieu de $[AB]$. La parallèle à $(BC)$ passant par $M$ coupe $[AC]$ en $N$. Que peut-on conclure ?

• ✓ $N$ est le milieu de $[AC]$
• $N$ est le milieu de $[BC]$
• $AN = BC$
• Rien sans connaître les longueurs

Explication : Troisième théorème de la droite des milieux : la droite qui passe par le milieu d'un côté et qui est parallèle à un deuxième côté coupe le troisième côté en son milieu. Donc $N$ est le milieu de $[AC]$.

Question 8 : $ABC$ est rectangle en $A$ et $BC = 10$ cm. Quel est le rayon de son cercle circonscrit, et où est son centre ?

• ✓ Rayon 5 cm, centre au milieu de $[BC]$
• Rayon 10 cm, centre en $A$
• Rayon 5 cm, centre au milieu de $[AB]$
• Rayon 10 cm, centre au milieu de $[BC]$

Explication : Un triangle rectangle est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse. Le centre est le milieu de $[BC]$ et le rayon vaut $\frac{BC}{2} = 5$ cm.

Question 9 : $M$ est un point d'un cercle de diamètre $[AB]$, distinct de $A$ et $B$. Quelle est la nature du triangle $AMB$ ?

• ✓ Rectangle en $M$
• Rectangle en $A$
• Isocèle en $M$
• Équilatéral

Explication : Si un triangle est inscrit dans un cercle et qu'un de ses côtés est un diamètre, alors il est rectangle, et l'angle droit est au sommet opposé au diamètre : $AMB$ est rectangle en $M$.

Question 10 : Sans équerre, on trace un cercle de centre $O$, puis deux diamètres $[AC]$ et $[BD]$. Quelle est la nature de $ABCD$ ?

• ✓ Un rectangle
• Un losange quelconque
• Un trapèze
• On ne peut pas savoir

Explication : $[AC]$ et $[BD]$ sont deux diamètres : ils ont la même longueur et se coupent en leur milieu $O$. Un quadrilatère dont les diagonales ont même longueur et même milieu est un rectangle. On obtient ainsi un rectangle sans équerre.