Comment multiplier deux puissances d'un même nombre ?

On additionne les exposants : $a^m \times a^n = a^{m+n}$. Par exemple $2^3 \times 2^4 = 2^7$, car on multiplie 3 facteurs 2 par 4 facteurs 2, soit 7 facteurs 2 en tout.

Comment multiplier deux puissances de même exposant ?

On multiplie les bases et on garde l'exposant : $a^n \times b^n = (a \times b)^n$. Par exemple $5^3 \times 2^3 = 10^3 = 1000$.

Qu'est-ce que la racine carrée d'un nombre ?

La racine carrée d'un nombre positif $a$, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré vaut $a$. Par exemple $\sqrt{81} = 9$ car $9^2 = 81$.

Puissances et racines carrées

Définitions

Définition 1 — puissance d’exposant positif. Pour un entier $n \geq 1$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

$a$ est la base, $n$ l’exposant ; on lit « $a$ puissance $n$ ». Deux cas particuliers : $a^2$ (« $a$ au carré ») et $a^3$ (« $a$ au cube »). Par convention, $a^1 = a$ . Exemple : $7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^5$ , $2^4 = 16$ , $0{,}3^2 = 0{,}09$ . Avec des négatifs, les parenthèses changent tout : $(-3)^2 = 9$ mais $-3^2 = -9$ .

Définition 2 — carré parfait. Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. À connaître par cœur, de $0^2$ à $12^2$ :

$0$	$1$	$4$	$9$	$16$	$25$	$36$	$49$	$64$	$81$	$100$	$121$	$144$

Exemple : $121 = 11^2$ est un carré parfait ; $110$ n’en est pas un, car $10^2 = 100$ et $11^2 = 121$ .

Définition 3 — racine carrée. La racine carrée d’un nombre positif $a$ est le nombre positif dont le carré vaut $a$ . On la note $\sqrt{a}$ , et $(\sqrt{a})^2 = a$ . Un nombre négatif n’a pas de racine carrée : aucun carré n’est négatif. Exemple : $\sqrt{81} = 9$ car $9^2 = 81$ et $9 \geq 0$ ; $\sqrt{144} = 12$ ; $\sqrt{0} = 0$ . $\sqrt{2} \approx 1{,}414\,213\ldots$ n’est ni entier ni décimal : c’est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1 — la racine carrée reviendra au chapitre sur le théorème de Pythagore.

Propriétés

Propriété 1 — produit de puissances de même base. On additionne les exposants :

$a^m \times a^n = a^{m+n}$

Exemple : $2^3 \times 2^4 = \underbrace{2 \times 2 \times 2}_{3} \times \underbrace{2 \times 2 \times 2 \times 2}_{4} = 2^7 = 128$ . Attention, il n’y a pas de règle pour une somme : $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$ , ce n’est pas $2^7$ .

Propriété 2 — produit de puissances de même exposant. On multiplie les bases et on garde l’exposant :

$a^n \times b^n = (a \times b)^n$

Exemple : $5^3 \times 2^3 = (5 \times 5 \times 5) \times (2 \times 2 \times 2) = (5 \times 2)^3 = 10^3 = 1000$ : on regroupe chaque facteur 5 avec un facteur 2.

Propriété 3 — puissances de 10. $10^n$ s’écrit 1 suivi de $n$ zéros, et multiplier par $10^n$ décale la virgule de $n$ rangs vers la droite.

$10^1$	$10^2$	$10^3$	$10^4$	$10^6$	$10^n$
$10$	$100$	$1\,000$	$10\,000$	$1\,000\,000$	1 suivi de $n$ zéros

Exemple : $1\,200 = 1{,}2 \times 10^3$ et $4{,}5 \times 10^4 = 45\,000$ . Les préfixes kilo, méga, giga correspondent à $10^3$ , $10^6$ , $10^9$ : $7\ \text{km} = 7 \times 10^3\ \text{m}$ .

Propriété 4 — encadrement d’une racine carrée. Si $p^2 < a < (p+1)^2$ avec $p$ entier positif, alors :

$p < \sqrt{a} < p + 1$

Exemple : $4 < 7 < 9$ , donc $2 < \sqrt{7} < 3$ (à la calculatrice, $\sqrt{7} \approx 2{,}65$ ).

Méthodes

Méthode 1 — écrire et calculer une puissance.

Pour passer d’un produit à une puissance, compter les facteurs égaux : c’est l’exposant (Définition 1).
Pour calculer, effectuer les multiplications successives, en gardant les parenthèses autour d’une base négative.

Exemple : $7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^5$ (cinq facteurs, à ne pas confondre avec $5^7$ ) et $2^4 = 16$ . Avec une base négative : $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ .

Méthode 2 — multiplier des puissances.

Même base : additionner les exposants (Propriété 1).
Même exposant : multiplier les bases et garder l’exposant (Propriété 2).
En cas de doute, revenir à l’écriture en produit de facteurs.

Exemple : $2^3 \times 2^4 = 2^7$ et $5^3 \times 2^3 = 10^3 = 1000$ .

Méthode 3 — utiliser les puissances de 10.

Pour écrire $c \times 10^n$ , décaler la virgule de $n$ rangs vers la droite (Propriété 3).
Inversement, pour écrire un grand nombre sous la forme $c \times 10^n$ , repérer de combien de rangs la virgule doit se décaler.

Exemple : $1\,200 = 1{,}2 \times 10^3$ (la virgule se décale de 3 rangs) et $4{,}5 \times 10^4 = 45\,000$ .

Méthode 4 — calculer la racine carrée d’un carré parfait.

Chercher le nombre positif dont le carré vaut le nombre donné (Définition 3).
S’appuyer sur la liste des carrés parfaits (Définition 2).

Exemple : $\sqrt{81} = 9$ car $9^2 = 81$ , et $\sqrt{144} = 12$ .

Méthode 5 — encadrer une racine carrée.

Encadrer le nombre par les deux carrés parfaits qui l’entourent (Définition 2).
Conclure avec la Propriété 4 : la racine est entre les deux entiers consécutifs correspondants.

Exemple : $49 < 50 < 64$ , donc $7 < \sqrt{50} < 8$ . Comme 50 est très proche de 49, $\sqrt{50} \approx 7{,}07$ .

Méthode 6 — résoudre un problème avec des puissances.

Repérer la situation répétitive : un doublement (ou une multiplication par un même nombre) répété $n$ fois se traduit par une puissance.
Écrire la puissance et la calculer (Méthode 1).

Exemple : on plie une feuille en deux, puis encore en deux… 6 fois de suite : le nombre d’épaisseurs double à chaque pliage, soit $2^6 = 64$ épaisseurs. Une bactérie qui se divise en deux toutes les heures donne $2^{10} = 1024$ bactéries au bout de 10 h.

Pièges classiques

$\sqrt{a}$ n’est pas « $a$ divisé par 2 » : $\sqrt{16} = 4$ , et non 8. La racine carrée est l’opération inverse du carré, pas de la multiplication par 2.
$\sqrt{a + b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}$ : $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ , alors que $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7$ .
Pas de règle pour une somme de puissances : $2^3 + 2^4 = 24$ , et non $2^7 = 128$ . Les règles des exposants ne valent que pour les produits.
$-3^2 \neq (-3)^2$ : sans parenthèses, le signe $-$ n’est pas élevé au carré : $-3^2 = -9$ mais $(-3)^2 = 9$ .

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Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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