Comment reconnaître la proportionnalité sur un graphique ?

Les points sont alignés entre eux et avec l'origine du repère. Si les points sont alignés mais que la droite ne passe pas par l'origine, ce n'est pas une situation de proportionnalité.

Qu'est-ce qu'un coefficient multiplicateur ?

C'est le nombre par lequel on multiplie une valeur pour lui appliquer une augmentation ou une diminution en pourcentage. Augmenter de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 + \frac{t}{100}$ ; diminuer de $t\,\%$ revient à multiplier par $1 - \frac{t}{100}$.

Comment faire un partage proportionnel ?

On additionne les nombres auxquels le partage est proportionnel pour obtenir le nombre total de parts, on divise la somme à partager par ce total pour connaître la valeur d'une part, puis on multiplie par le nombre de parts de chacun.

Proportionnalité : ratios, pourcentages et partages

Définitions

Définition 1 — grandeurs proportionnelles. Deux grandeurs sont proportionnelles lorsque les valeurs de l’une s’obtiennent en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Exemple : si 1 kg de pommes coûte 2,50 €, la masse et le prix sont proportionnels : 3 kg coûtent $3 \times 2{,}50 = 7{,}50$ € — le coefficient est 2,50.

Définition 2 — grandeur quotient. Une grandeur quotient s’obtient en divisant une grandeur par une autre. C’est le coefficient de proportionnalité entre les deux grandeurs.

Grandeur quotient	Calcul	Exemple
Prix au kilogramme	prix ÷ masse	$7{,}50 \div 3 = 2{,}50$ €/kg
Vitesse	distance ÷ temps	$90$ km/h
Débit	volume ÷ temps	$12$ L/min
Densité de population	habitants ÷ superficie	$105$ hab./km²

Exemple : 3 kg de pommes coûtent 7,50 € : le prix au kilo vaut $7{,}50 \div 3 = 2{,}50$ €/kg, et 5 kg coûtent $5 \times 2{,}50 = 12{,}50$ €.

Définition 3 — rapport et ratio. Le rapport de deux nombres ou de deux grandeurs est leur quotient. Dire que deux quantités sont dans le ratio $a : b$ , c’est dire qu’elles sont proportionnelles aux nombres $a$ et $b$ . Exemple : un sirop préparé avec 1 volume de sirop pour 7 volumes d’eau : le rapport sirop/eau vaut $\dfrac{1}{7}$ , et sirop et eau sont dans le ratio $1 : 7$ .

Définition 4 — coefficient multiplicateur. Le coefficient multiplicateur d’une évolution en pourcentage est le nombre par lequel on multiplie la valeur de départ pour obtenir la valeur d’arrivée. Prendre $t\,\%$ d’une valeur, c’est la multiplier par $\dfrac{t}{100}$ . Exemple : 20 % de 120, c’est $0{,}2 \times 120 = 24$ ; augmenter de 15 %, c’est multiplier par 1,15.

Définition 5 — échelle. L’échelle d’un plan ou d’une carte est le rapport $\dfrac{\text{longueur sur le plan}}{\text{longueur réelle}}$ , les deux longueurs étant exprimées dans la même unité. C’est une grandeur quotient sans unité, comme un pourcentage ou un rapport de deux longueurs. Exemple : à l’échelle $1:50$ , 1 cm sur le plan représente 50 cm dans la réalité.

Propriétés

Propriété 1 — reconnaître la proportionnalité sur un graphique (rappel de 5ᵉ). Une situation est proportionnelle si, et seulement si, ses points sont alignés sur une droite passant par l’origine du repère.

Points	Proportionnalité ?
alignés, droite par l’origine	oui
alignés, droite ne passant pas par l’origine	non
sur une courbe	non

Exemple : les points $(2\,;5)$ , $(4\,;10)$ , $(6\,;15)$ sont sur la droite $y = 2{,}5x$ , qui passe par l’origine : proportionnalité de coefficient 2,5.

Propriété 2 — égalités de rapports et produit en croix. Deux suites de nombres sont proportionnelles lorsque leurs rapports sont égaux. Et deux rapports sont égaux si, et seulement si, leurs produits en croix sont égaux :

$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \iff a \times d = b \times c$

Exemple : $\dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{4}$ car $5 \times 4 = 2 \times 10 = 20$ .

Propriété 3 — ratio et parts. Si deux quantités sont dans le ratio $a : b$ , la première représente $a$ parts et la seconde $b$ parts d’un total de $a + b$ parts égales (de même avec trois quantités dans un ratio $a : b : c$ ). Exemple : ratio filles : garçons de $3 : 2$ dans une classe de 30 élèves : $3 + 2 = 5$ parts de $30 \div 5 = 6$ élèves — soit 18 filles et 12 garçons.

Propriété 4 — coefficient multiplicateur d’une évolution. Augmenter une valeur de $t\,\%$ , c’est prendre $(100 + t)\,\%$ de cette valeur : on multiplie par $1 + \dfrac{t}{100}$ . Diminuer de $t\,\%$ , c’est prendre $(100 - t)\,\%$ : on multiplie par $1 - \dfrac{t}{100}$ .

Évolution	Coefficient multiplicateur
$+15\,\%$	$\times 1{,}15$
$+50\,\%$	$\times 1{,}5$
$-20\,\%$	$\times 0{,}8$
$-5\,\%$	$\times 0{,}95$

Exemple : un prix de 40 € augmente de 15 % : $40 \times 1{,}15 = 46$ €.

Méthodes

Méthode 1 — calculer une quatrième proportionnelle.

Ranger les données dans un tableau de proportionnalité.
Choisir une méthode : passage à l’unité, coefficient de proportionnalité, additivité, ou produit en croix (Propriété 2) — toutes sont acceptées.

Exemple : huit briques identiques pèsent 13,6 kg ; combien pèsent six briques ?

Briques	8	6
Masse (kg)	13,6	$x$

Passage à l’unité : $13{,}6 \div 8 = 1{,}7$ kg par brique, puis $6 \times 1{,}7 = 10{,}2$ kg. Produit en croix : $x = \dfrac{13{,}6 \times 6}{8} = 10{,}2$ kg.

Méthode 2 — utiliser une grandeur quotient.

Calculer la grandeur quotient (Définition 2) : c’est le coefficient de proportionnalité.
Multiplier par ce coefficient, en vérifiant que les unités sont cohérentes (convertir si besoin).

Exemple : à 90 km/h pendant 20 min : on convertit $20$ min $= \dfrac{1}{3}$ h, puis $d = 90 \times \dfrac{1}{3} = 30$ km.

Méthode 3 — effectuer un partage proportionnel.

Calculer le nombre total de parts (la somme des nombres du partage).
Calculer la valeur d’une part : somme à partager ÷ nombre total de parts.
Multiplier par le nombre de parts de chacun, puis vérifier que le total est retrouvé.

Exemple : partager 140 € proportionnellement à 2, 3 et 5 : total $2 + 3 + 5 = 10$ parts ; une part vaut $140 \div 10 = 14$ € ; les parts sont $28$ €, $42$ € et $70$ €. Vérification : $28 + 42 + 70 = 140$ .

Méthode 4 — utiliser un ratio.

Traduire le ratio en parts (Propriété 3) et compter le nombre total de parts.
Calculer la valeur d’une part, puis les quantités cherchées.

Exemple : 30 élèves, ratio filles : garçons de $3 : 2$ : une part vaut $30 \div 5 = 6$ , donc $3 \times 6 = 18$ filles et $2 \times 6 = 12$ garçons.

Méthode 5 — appliquer un pourcentage d’évolution.

Écrire le coefficient multiplicateur de l’évolution (Propriété 4).
Multiplier la valeur de départ par ce coefficient.

Exemple : un article à 40 € augmente de 15 % : coefficient $1{,}15$ , nouveau prix $40 \times 1{,}15 = 46$ €. Pour simplement prendre un pourcentage : 20 % de 120 vaut $0{,}2 \times 120 = 24$ (Définition 4).

Méthode 6 — retrouver la valeur initiale.

Écrire le coefficient multiplicateur de l’évolution (Propriété 4).
Diviser la valeur finale par ce coefficient (et non appliquer le pourcentage inverse).
Vérifier en appliquant l’évolution à la valeur trouvée.

Exemple : un article coûte 60 € après une réduction de 20 % : coefficient $0{,}8$ , prix initial $60 \div 0{,}8 = 75$ €. Vérification : $75 \times 0{,}8 = 60$ .

Méthode 7 — utiliser une échelle.

Écrire l’échelle comme un rapport (Définition 5) : $1:50$ signifie « 1 cm sur le plan pour 50 cm réels ».
Multiplier (du plan vers le réel) ou diviser (du réel vers le plan), puis convertir dans une unité adaptée.

Exemple : sur un plan au $1:50$ , une pièce est représentée par un rectangle de 8 cm sur 6 cm : dimensions réelles $8 \times 50 = 400$ cm et $6 \times 50 = 300$ cm, soit 4 m sur 3 m.

Pièges classiques

Une réduction de 20 % ne se « défait » pas en ajoutant 20 %. Dans « 60 € après 20 % de réduction », le prix initial n’est pas $60 \times 1{,}2 = 72$ € : les 20 % portent sur le prix initial, pas sur le prix réduit. On divise par le coefficient $0{,}8$ (Méthode 6).

Un ratio $3 : 2$ ne signifie pas « 3 filles et 2 garçons ». Il donne des parts, qu’il faut multiplier par la valeur d’une part (Méthode 4).

Des points alignés ne suffisent pas. Si la droite ne passe pas par l’origine, ce n’est pas une proportionnalité (Propriété 1).

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

Reste informé