Que signifient les notations $A \cup B$, $A \cap B$ et $\bar{A}$ ?

$A \cup B$ (réunion, « A ou B ») est l'ensemble des issues qui réalisent A ou B ou les deux. $A \cap B$ (intersection, « A et B ») est l'ensemble des issues qui réalisent A et B en même temps. $\bar{A}$ (complémentaire, événement contraire) est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas A. Si $A \cap B = \varnothing$, les événements sont incompatibles.

Comment compter les issues d'une expérience à deux épreuves ?

On représente toutes les issues dans un tableau à double entrée ou un arbre. Pour deux pièces, il y a $2 \times 2 = 4$ issues ; pour deux dés, $6 \times 6 = 36$ issues. Si elles sont équiprobables, chaque issue a la même probabilité.

Pourquoi la fréquence observée n'est-elle pas égale à la probabilité ?

La fréquence dépend de l'expérience réalisée : deux séries de 100 lancers ne donnent pas la même fréquence de « pile ». C'est la fluctuation des fréquences. La probabilité, elle, est fixée par le modèle (0,5 pour une pièce équilibrée). Les fréquences se rapprochent de la probabilité quand le nombre de répétitions augmente.

Probabilités — BgMaths

Définitions

Définition 1 — expérience aléatoire, issue, univers. Une expérience aléatoire a un résultat imprévisible, mais dont on connaît toutes les issues possibles. L’ensemble de ces issues est l’univers, noté $\Omega$ . Exemple : lancer d’un dé : $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Les issues dépendent de ce qu’on observe : pour une urne de boules blanches et grises numérotées de 1 à 6, si l’on regarde la couleur, $\Omega = \{\text{blanche}, \text{grise}\}$ ; si l’on regarde le numéro, $\Omega$ a 6 issues.

Définition 2 — événement. Un événement est un ensemble d’issues, c’est-à-dire une partie de $\Omega$ . L’événement certain est $\Omega$ tout entier ; l’événement impossible est l’ensemble vide $\varnothing$ , qui ne contient aucune issue. Exemple (dé) : « obtenir un nombre pair » $= \{2, 4, 6\}$ ; « obtenir moins de 7 » $= \Omega$ (certain) ; « obtenir 7 » $= \varnothing$ (impossible).

Définition 3 — événement contraire. L’événement contraire (ou complémentaire) de $A$ , noté $\bar{A}$ , est l’ensemble des issues de $\Omega$ qui ne sont pas dans $A$ . L’un des deux événements $A$ ou $\bar{A}$ se réalise toujours, jamais les deux. Exemple (dé) : le contraire de « pair » $= \{2, 4, 6\}$ est « impair » $= \{1, 3, 5\}$ .

Définition 4 — réunion, intersection, incompatibilité. La réunion $A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») est l’ensemble des issues qui réalisent $A$ ou $B$ (ou les deux) ; l’intersection $A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») est l’ensemble des issues qui réalisent $A$ et $B$ en même temps. Deux événements sont incompatibles quand ils n’ont aucune issue commune : $A \cap B = \varnothing$ . Exemple (dé) : avec $A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{1, 2, 3\}$ : $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ et $A \cap B = \{2\}$ . « Obtenir 3 » et « obtenir un nombre pair » sont incompatibles.

Définition 5 — probabilité et équiprobabilité. La probabilité d’un événement mesure sa chance de se réaliser, par un nombre entre 0 et 1 (en fraction, en écriture décimale ou en pourcentage). Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité — une hypothèse que l’on retient pour un dé ou une pièce équilibrés, par symétrie : elle ne se démontre pas, mais peut être confrontée à l’expérience. Exemple : $P(\text{orange}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%$ se lit « 4 chances sur 5 ».

Propriétés

Propriété 1 — probabilités entre 0 et 1. Pour tout événement $A$ : $0 \leq P(A) \leq 1$ , avec $P(\Omega) = 1$ (événement certain) et $P(\varnothing) = 0$ (événement impossible). Un résultat de $1{,}2$ ou de $-0{,}3$ est nécessairement une erreur de calcul — le plus souvent un dénominateur mal choisi.

Propriété 2 — équiprobabilité et calcul. En situation d’équiprobabilité :

$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues de } A}{\text{nombre total d'issues}}$

Exemple : une urne contient 1 boule rouge et 4 boules oranges : $P(\text{orange}) = \dfrac{4}{5}$ .

Propriété 3 — probabilité de l’événement contraire.

$P(A) + P(\bar{A}) = 1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Exemple : probabilité de gagner $0{,}4$ → probabilité de perdre $1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .

Propriété 4 — événements incompatibles. Si $A$ et $B$ sont incompatibles ( $A \cap B = \varnothing$ ), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ . Si $A$ et $B$ ont des issues communes, cette addition compterait l’intersection deux fois. Exemple (dé) : avec $A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{1, 2, 3\}$ : $P(A \cup B) = \dfrac{5}{6}$ , alors que $P(A) + P(B) = \dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{6} = 1$ — l’issue 2 serait comptée deux fois.

Propriété 5 — expérience à deux épreuves. Quand une expérience enchaîne deux épreuves, le nombre total d’issues est le produit des nombres d’issues de chaque épreuve. Exemple : deux pièces : $2 \times 2 = 4$ issues ; une pièce et un dé : $2 \times 6 = 12$ issues ; deux dés : $6 \times 6 = 36$ issues. Si les épreuves sont équilibrées, ces issues sont équiprobables.

Propriété 6 — fluctuation des fréquences. Quand on répète une expérience aléatoire un nombre fixé de fois, la fréquence de chaque issue varie d’une série à l’autre : c’est la fluctuation des fréquences. Plus le nombre de répétitions est grand, plus les fréquences se rapprochent des probabilités du modèle.

	Fréquence	Probabilité
Vient de…	l’expérience réalisée	le modèle
Varie ?	oui, d’une série à l’autre	non
Exemple (pièce)	0,46 puis 0,53	0,5

Inversement, quand on ne connaît pas le modèle (punaise qui tombe sur la pointe ou sur la tête), on estime la probabilité par la fréquence observée sur un grand nombre de répétitions.

Méthodes

Méthode 1 — décrire une expérience avec les ensembles.

Écrire l’univers $\Omega$ , l’ensemble de toutes les issues de ce que l’on observe (Définition 1).
Écrire chaque événement comme un ensemble d’issues ; traduire « ou » par $\cup$ , « et » par $\cap$ , « ne… pas » par le complémentaire (Définitions 2 à 4).

Exemple (dé) : $A$ = « multiple de 3 » $= \{3, 6\}$ , $B$ = « impair » $= \{1, 3, 5\}$ : $A \cap B = \{3\}$ , $A \cup B = \{1, 3, 5, 6\}$ , $\bar{B} = \{2, 4, 6\}$ .

Méthode 2 — calculer une probabilité par équiprobabilité.

Vérifier (ou poser comme hypothèse) l’équiprobabilité ; compter le nombre total d’issues.
Compter les issues favorables à l’événement, puis appliquer la Propriété 2.

Exemple : urne avec 1 boule rouge et 4 oranges : 5 issues équiprobables, dont 4 favorables à « orange » : $P = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ .

Méthode 3 — passer par l’événement contraire.

Quand un événement est long à dénombrer (« au moins… »), écrire son contraire, souvent plus simple (« aucun… »).
Calculer $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ (Propriété 3).

Exemple (dé) : « obtenir au moins 2 » a pour contraire « obtenir 1 » : $P = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$ .

Méthode 4 — dénombrer avec un arbre ou un tableau.

Pour une expérience à deux épreuves, représenter toutes les issues par un arbre ou un tableau à double entrée (Propriété 5).
Compter les issues favorables parmi les issues équiprobables (Méthode 2).

Exemple : deux pièces : $\Omega = \{PP, PF, FP, FF\}$ , donc $P(\text{deux piles}) = \dfrac{1}{4}$ et $P(\text{une de chaque}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ — « pile puis face » et « face puis pile » sont deux issues différentes.

Pour deux dés, le tableau à double entrée des sommes :

$+$	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

$P(\text{somme} = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \qquad\qquad P(\text{somme} = 2) = \frac{1}{36}$

Les 11 sommes possibles ne sont pas équiprobables : 7 est la plus probable.

Méthode 5 — comparer fréquences et probabilités.

Calculer la fréquence observée de chaque issue : $\dfrac{\text{effectif}}{\text{nombre de répétitions}}$ .
Comparer au diagramme des probabilités du modèle : les écarts sont normaux (Propriété 6) et diminuent quand le nombre de répétitions augmente.

Exemple : un dé lancé 600 fois, la face 6 sort 108 fois : fréquence $\dfrac{108}{600} = 0{,}18$ , proche de $\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$ — le modèle prévoyait environ 100 sorties.

Pièges classiques

Le contraire de « au moins un » est « aucun », pas « au plus un ». Avec deux pièces, le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c’est-à-dire $FF$ : $P(\text{au moins un pile}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$ (Méthode 3). Le complémentaire doit couvrir exactement les issues restantes.

$P(A \cup B)$ n’est pas toujours $P(A) + P(B)$ . L’addition ne vaut que pour des événements incompatibles ; sinon, les issues communes seraient comptées deux fois (Propriété 4).

Deux pièces donnent 4 issues, pas 3. « Pile puis face » et « face puis pile » sont deux issues différentes : un arbre ou un tableau évite l’oubli (Méthode 4).

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Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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