Quiz — Probabilités

Question 1 : Une urne contient des boules blanches et grises numérotées de 1 à 6. Si l'on s'intéresse à la couleur, quel est l'univers $\Omega$ de l'expérience ?

• ✓ $\Omega = \{\text{blanche}, \text{grise}\}$
• $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
• $\Omega = \{\text{blanche}, \text{grise}, \text{numérotée}\}$
• $\Omega$ contient 12 issues

Explication : L'univers est l'ensemble des issues possibles de ce que l'on observe. Pour la couleur, il n'y a que deux issues : $\Omega = \{\text{blanche}, \text{grise}\}$. Pour le numéro, il y en aurait six.

Question 2 : La probabilité de gagner à un jeu est 0,4. Quelle est la probabilité de perdre ?

• $0{,}4$
• ✓ $0{,}6$
• $0{,}5$
• $1{,}4$

Explication : Perdre est l'événement contraire (complémentaire) de gagner : $P = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$.

Question 3 : Une urne contient 1 boule rouge et 4 boules oranges. Quelle est la probabilité de tirer une boule orange ?

• $\frac{1}{4}$
• ✓ $\frac{4}{5}$
• $\frac{1}{5}$
• $4$

Explication : Il y a 5 boules, dont 4 oranges : $P = \frac{4}{5} = 0{,}8$, soit 4 chances sur 5 ou 80 %.

Question 4 : On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir un nombre pair » $= \{2, 4, 6\}$ et $B$ = « obtenir au plus 3 » $= \{1, 2, 3\}$. Que vaut $A \cap B$ ?

• ✓ $\{2\}$
• $\{1, 2, 3, 4, 6\}$
• $\{4, 6\}$
• $\varnothing$

Explication : L'intersection $A \cap B$ contient les issues qui réalisent $A$ **et** $B$ : le seul nombre à la fois pair et au plus 3 est 2. Donc $A \cap B = \{2\}$ et $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.

Question 5 : Avec les mêmes événements $A = \{2, 4, 6\}$ et $B = \{1, 2, 3\}$, quelle est la probabilité de $A \cup B$ ?

• $\frac{6}{6} = 1$
• ✓ $\frac{5}{6}$
• $\frac{1}{6}$
• $\frac{4}{6}$

Explication : La réunion $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ contient les issues qui réalisent $A$ **ou** $B$. Elle a 5 issues sur 6 : $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$. Attention : $P(A) + P(B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1$ compte l'issue 2 deux fois.

Question 6 : On lance un dé à 6 faces. Que peut-on dire de l'événement $E$ = « obtenir 7 » ?

• ✓ $E = \varnothing$ et $P(E) = 0$
• $E = \Omega$ et $P(E) = 1$
• $P(E) = \frac{1}{7}$
• $P(E) = \frac{1}{6}$

Explication : Aucune issue du dé ne donne 7 : $E$ est l'ensemble vide $\varnothing$, l'événement impossible, de probabilité 0. Son contraire est l'événement certain $\Omega$, de probabilité 1.

Question 7 : On lance deux pièces équilibrées. Quelle est la probabilité d'obtenir deux fois « pile » ?

• $\frac{1}{2}$
• $\frac{1}{3}$
• ✓ $\frac{1}{4}$
• $\frac{3}{4}$

Explication : Les issues sont $PP$, $PF$, $FP$, $FF$ : 4 issues équiprobables, une seule favorable. $P(PP) = \frac{1}{4}$. Le piège classique est de croire qu'il n'y a que 3 issues (deux piles, deux faces, une de chaque).

Question 8 : On lance deux dés équilibrés et on additionne les résultats. Quelle est la probabilité d'obtenir une somme égale à 7 ?

• $\frac{1}{12}$
• ✓ $\frac{1}{6}$
• $\frac{7}{36}$
• $\frac{1}{11}$

Explication : Il y a $6 \times 6 = 36$ issues équiprobables. Six d'entre elles donnent 7 : $(1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1)$. $P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Les 11 sommes possibles ne sont pas équiprobables.

Question 9 : Léa lance 100 fois une pièce équilibrée et obtient une fréquence de « pile » de 0,46. Elle recommence 100 lancers et trouve 0,53. Que peut-on en conclure ?

• La pièce n'est pas équilibrée
• ✓ C'est normal : les fréquences fluctuent d'une série à l'autre autour de 0,5
• La probabilité de « pile » a changé entre les deux séries
• Elle a fait une erreur de comptage

Explication : La probabilité de « pile » reste $0{,}5$, mais la fréquence observée sur 100 lancers varie d'une série à l'autre : c'est la fluctuation des fréquences. Des valeurs comme 0,46 et 0,53 sont tout à fait normales.

Question 10 : On lance un dé équilibré 600 fois. La face 6 est sortie 108 fois. Comment se compare la fréquence observée à la probabilité du modèle ?

• ✓ Fréquence $0{,}18$, proche de la probabilité $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$
• Fréquence $0{,}18$, très éloignée de la probabilité $0{,}5$
• Fréquence $108$, probabilité $100$
• On ne peut pas comparer une fréquence et une probabilité

Explication : Fréquence $= \frac{108}{600} = 0{,}18$. Le modèle équiprobable prévoit $P(6) = \frac{1}{6} \approx 0{,}167$, soit environ 100 sorties sur 600. Le diagramme des fréquences observées est proche de celui des probabilités, avec de petits écarts dus à la fluctuation.