Comment trouver le signe d'un produit de plusieurs facteurs ?

On compte les facteurs négatifs : s'il y en a un nombre pair, le produit est positif ; s'il y en a un nombre impair, il est négatif.

Pourquoi le produit de deux nombres négatifs est-il positif ?

Par la distributivité : $(-3) \times (4 + (-4)) = (-3) \times 0 = 0$. En développant, $(-3) \times 4 + (-3) \times (-4) = -12 + (-3) \times (-4) = 0$, donc $(-3) \times (-4)$ est le nombre qui, ajouté à $-12$, donne 0 : c'est $12$.

Nombres relatifs : multiplication et division

Définitions

(En 5ᵉ, on a appris à additionner et soustraire les nombres relatifs ; cette année, on apprend à les multiplier et à les diviser.)

Définition 1 — distance à zéro. La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans son signe. Exemple : $-7{,}3$ et $7{,}3$ ont la même distance à zéro : $7{,}3$ . C’est avec elle qu’on calcule, une fois le signe du résultat déterminé.

Définition 2 — somme, différence, produit, quotient. Une expression se nomme d’après sa dernière opération : somme (on ajoute des termes), différence (on soustrait), produit (on multiplie des facteurs) ou quotient (on divise). Exemple : $5 - 3 \times (-4)$ est une différence, car la soustraction est effectuée en dernier ; ses termes sont $5$ et le produit $3 \times (-4)$ .

Propriétés

Propriété 1 — règle des signes. Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif ; le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. La règle est identique pour le quotient.

Facteurs	Signe du résultat	Exemple
$(+) \times (+)$	$+$	$3 \times 4 = 12$
$(-) \times (-)$	$+$	$(-3) \times (-4) = 12$
$(+) \times (-)$	$-$	$3 \times (-4) = -12$
$(-) \times (+)$	$-$	$(-3) \times 4 = -12$

D’où vient « moins par moins donne plus » ? Avec un seul facteur négatif, la multiplication est une addition répétée : $(-3) \times 4 = (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12$ . Pour deux facteurs négatifs, c’est la distributivité qui impose le résultat : $(-3) \times \big(4 + (-4)\big) = (-3) \times 0 = 0$ ; en développant, $-12 + (-3) \times (-4) = 0$ , donc $(-3) \times (-4)$ est l’opposé de $-12$ : c’est $12$ .

Propriété 2 — signe d’un produit de plusieurs facteurs. Un produit de plusieurs nombres relatifs (tous non nuls) est positif si le nombre de facteurs négatifs est pair, négatif s’il est impair. Exemple : $(-6{,}7) \times 7 \times (-1{,}24) \times (-0{,}7)$ contient 3 facteurs négatifs — un nombre impair — donc ce produit est négatif, sans rien calculer.

Propriété 3 — multiplier par −1, c’est prendre l’opposé. Pour tout nombre $a$ : $(-1) \times a = -a$ . Exemple : $(-1) \times (-8) = 8$ , ce qui explique que $-(-8) = 8$ .

Propriété 4 — écritures d’un quotient. Le signe d’un quotient en écriture fractionnaire peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la barre :

$\frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} = -\frac{a}{b} \qquad\qquad \frac{-a}{-b} = \frac{a}{b}$

Exemple : $\dfrac{-6}{-3} = \dfrac{6}{3} = 2$ .

Propriété 5 — priorités opératoires. Elles ne changent pas avec les relatifs : parenthèses d’abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions. Exemple : $5 - 3 \times (-4) = 5 - (-12) = 5 + 12 = 17$ .

Méthodes

Méthode 1 — multiplier ou diviser deux nombres relatifs.

Déterminer le signe du résultat (Propriété 1).
Calculer avec les distances à zéro (Définition 1).

Exemple : $-2{,}5 \times (-4)$ : même signe → positif, et $2{,}5 \times 4 = 10$ , donc le résultat est $10$ . De même $-12{,}8 \div 2$ : signes contraires → négatif, et $12{,}8 \div 2 = 6{,}4$ , donc le résultat est $-6{,}4$ . Autres exemples : $-63 \div (-0{,}7) = 90$ et $7{,}2 \div (-5) = -1{,}44$ .

Méthode 2 — trouver le signe d’un produit de plusieurs facteurs.

Compter les facteurs négatifs : nombre pair → produit positif ; nombre impair → produit négatif (Propriété 2).
Calculer ensuite le produit des distances à zéro.

Exemple : $(-2) \times (-3) \times (-5)$ : 3 facteurs négatifs → négatif, et $2 \times 3 \times 5 = 30$ : le produit vaut $-30$ . Avec un facteur $(-1)$ supplémentaire, le produit devient $30$ . Le signe se détermine avant tout calcul : c’est aussi un moyen de contrôler un résultat à la calculatrice.

Méthode 3 — calculer un enchaînement d’opérations.

Repérer les priorités : parenthèses, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ (Propriété 5).
Calculer chaque produit ou quotient avec la Méthode 1.
Terminer par les additions et les soustractions.

Exemple : $(-2 + 5) \times (-3) = 3 \times (-3) = -9$ , et $\dfrac{-8 + 2}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2$ : la barre de fraction joue le rôle de parenthèses autour du numérateur.

Méthode 4 — traduire un programme de calcul et nommer le résultat.

Écrire l’expression en suivant les étapes du programme, avec des parenthèses si nécessaire.
Nommer l’expression d’après sa dernière opération (Définition 2).
Calculer en respectant les priorités (Méthode 3).

Programme de calcul	Expression	Nature
choisir $-4$ , multiplier par $-3$ , soustraire 7	$(-4) \times (-3) - 7$	différence de $(-4) \times (-3)$ et de 7
choisir $-2$ , ajouter 5, multiplier par $-3$	$(-2 + 5) \times (-3)$	produit de $(-2 + 5)$ par $-3$
choisir $-8$ , ajouter 2, diviser par $-3$	$\dfrac{-8 + 2}{-3}$	quotient de $(-8 + 2)$ par $-3$

Exemple : « choisir $-4$ , le multiplier par $-3$ , puis soustraire 7 » donne $(-4) \times (-3) - 7 = 12 - 7 = 5$ . Inversement, « le produit de la somme de $-2$ et de 5 par $-3$ » se traduit par $(-2 + 5) \times (-3) = -9$ .

Pièges classiques

$-3^2$ et $(-3)^2$ ne sont pas égaux : $(-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9$ , mais $-3^2 = -(3 \times 3) = -9$ . Sans parenthèses, le signe $-$ n’est pas élevé au carré. Ce piège reviendra au chapitre sur les puissances.
La règle des signes ne s’applique qu’à la multiplication et à la division : dans une somme comme $-3 + 5$ , deux signes différents ne donnent pas un résultat négatif — on compare les distances à zéro ( $-3 + 5 = 2$ ).
Déterminer le signe avant de calculer : si la calculatrice affiche un résultat positif alors qu’on attendait un négatif, c’est qu’une parenthèse a été oubliée.

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