Quelle est la formule du volume d'une pyramide ?

$V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. La même formule vaut pour le cône, dont la base est un disque : $V = \frac{\pi r^2 h}{3}$.

Comment convertir des km/h en m/s ?

1 km/h = 1000 m / 3600 s. On divise donc par 3,6 : $90$ km/h $= 25$ m/s. Dans l'autre sens, on multiplie par 3,6.

Comment convertir un débit de m³/s en L/min ?

$1\ \text{m}^3 = 1000$ L et 1 min = 60 s. Un débit de 2 m³/s vaut donc $2 \times 1000 \times 60 = 120\,000$ L/min.

Grandeurs et mesures : pyramide, cône, vitesses et débits

Définitions

Définition 1 — grandeur quotient. Une grandeur quotient s’obtient en divisant une grandeur par une autre. Son unité le montre, avec sa barre de fraction (km/h, L/min, g/cm³).

Grandeur	Définition	Unités courantes
Vitesse	$\dfrac{\text{distance}}{\text{temps}}$	km/h, m/s
Débit	$\dfrac{\text{volume}}{\text{temps}}$	m³/s, L/min, L/h
Masse volumique	$\dfrac{\text{masse}}{\text{volume}}$	kg/m³, g/cm³

Exemple : « 30 km/h » se lit « 30 kilomètres par heure » : une distance divisée par un temps.

Définition 2 — vitesse moyenne. La vitesse moyenne d’un trajet est le quotient de la distance parcourue par la durée du trajet : $v = \dfrac{d}{t}$ . Exemple : 45 km parcourus en 1 h 30 (soit 1,5 h) : $v = \dfrac{45}{1{,}5} = 30$ km/h.

Définition 3 — débit. Le débit est le quotient du volume écoulé par la durée d’écoulement. Exemple : un robinet qui verse 90 L en 1 minute a un débit de 90 L/min, soit 1,5 L/s.

Définition 4 — masse volumique. La masse volumique d’un matériau est le quotient de la masse d’un objet par son volume. Exemple : un cube de fer de 2 cm de côté ( $8$ cm³) pèse 63 g : $\dfrac{63}{8} \approx 7{,}9$ g/cm³.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — volume de la pyramide et du cône. $V = \frac{\text{aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$ C’est la même formule pour les deux solides ; seule la base change. Le « ÷ 3 » vient de ce que trois pyramides identiques remplissent exactement le prisme de même base et de même hauteur.

Solide	Base	Volume
Pyramide à base carrée de côté $c$	$c^2$	$\dfrac{c^2 \times h}{3}$
Pyramide à base rectangulaire $L \times \ell$	$L \times \ell$	$\dfrac{L \times \ell \times h}{3}$
Cône de rayon $r$	$\pi r^2$	$\dfrac{\pi r^2 \times h}{3}$

Exemple : pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 5 cm : $V = \dfrac{36 \times 5}{3} = 60$ cm³.

Propriété 2 — conversion des vitesses. $1\ \text{km/h} = \frac{1000\ \text{m}}{3600\ \text{s}} = \frac{1}{3{,}6}\ \text{m/s}$

Sens	Opération	Exemple
km/h → m/s	diviser par 3,6	$90$ km/h $= 25$ m/s
m/s → km/h	multiplier par 3,6	$15$ m/s $= 54$ km/h

Pourquoi 3,6 ? En une heure à 1 m/s, on parcourt $3600$ m $= 3{,}6$ km.

Propriété 3 — conversion des débits. Pour convertir un débit, on convertit le volume et le temps séparément, en se rappelant que $1$ m³ $= 1000$ L, $1$ h $= 60$ min et $1$ min $= 60$ s. Exemple : $2$ m³/s $= 2000$ L/s $= 2000 \times 60 = 120\,000$ L/min.

Propriété 4 — grandeur quotient et proportionnalité. Une grandeur quotient est un coefficient de proportionnalité : à vitesse constante, la distance est proportionnelle au temps ; à débit constant, le volume est proportionnel au temps. Exemple : à 30 km/h, on parcourt 30 km en 1 h, 60 km en 2 h, 15 km en 30 min.

Méthodes

Méthode 1 — calculer le volume d’une pyramide ou d’un cône.

Calculer l’aire de la base (carré, rectangle, ou disque $\pi r^2$ ).
Multiplier par la hauteur et diviser par 3 (Propriété 1).
Pour un cône, garder la valeur exacte avec $\pi$ , puis arrondir si demandé.

Exemple résolu : cône de rayon 3 cm et de hauteur 4 cm : $V = \dfrac{\pi \times 9 \times 4}{3} = 12\pi \approx 37{,}7$ cm³.

Méthode 2 — calculer une vitesse moyenne.

Convertir la durée en heures décimales : 1 h 30 $= 1{,}5$ h ; 45 min $= 0{,}75$ h ; 20 min $= \dfrac{1}{3}$ h.
Appliquer $v = \dfrac{d}{t}$ (Définition 2).

Exemple résolu : 45 km en 1 h 30 : $v = \dfrac{45}{1{,}5} = 30$ km/h. Attention : 1 h 30 n’est pas 1,3 h !

Méthode 3 — convertir une vitesse.

km/h → m/s : diviser par 3,6. m/s → km/h : multiplier par 3,6 (Propriété 2).
En cas de doute, revenir aux définitions : $90$ km/h $= 90\,000$ m en $3600$ s $= 25$ m/s.

Exemple résolu : un train roule à 300 km/h : $300 \div 3{,}6 \approx 83{,}3$ m/s — en une seconde, il parcourt environ 83 m.

Méthode 4 — convertir un débit.

Convertir le volume ( $1$ m³ $= 1000$ L).
Convertir le temps (passer de « par seconde » à « par minute » revient à multiplier par 60, car il s’écoule 60 fois plus en une minute).

Exemple résolu : $12$ L/min en m³/h : $12$ L/min $= 12 \times 60 = 720$ L/h $= 0{,}72$ m³/h.

Méthode 5 — retrouver une grandeur à partir d’un quotient.

Écrire la formule de la grandeur quotient, puis l’utiliser « à l’envers » : $d = v \times t$ , volume $=$ débit $\times$ temps, masse $=$ masse volumique $\times$ volume.
Pour les volumes : $B = \dfrac{3V}{h}$ ou $h = \dfrac{3V}{B}$ (Propriété 1).

Exemple résolu : un cône a un volume de 50 cm³ et une hauteur de 6 cm : $B = \dfrac{3 \times 50}{6} = 25$ cm².

Pièges classiques

Piège 1 — on convertit chaque grandeur simple, jamais la grandeur quotient d’un bloc. Pour passer de km/h en m/s, on ne divise ni par 1000 (ce serait oublier le temps) ni par 60 (ce serait oublier la distance) : le facteur 3,6 combine les deux conversions, $\dfrac{1000}{3600}$ (Propriété 2).

Piège 2 — les durées en heures décimales. 1 h 30 $= 1{,}5$ h et non 1,3 h ; 2 h 15 $= 2{,}25$ h (Méthode 2).

Piège 3 — l’oubli du ÷ 3. C’est l’erreur la plus fréquente du chapitre : 180 cm³ au lieu de 60 cm³ pour la pyramide de base 36 cm² et de hauteur 5 cm (Propriété 1).

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