Comment calculer la fraction d'une fraction ?

Prendre la fraction d'un nombre revient à multiplier : les $\frac{2}{3}$ de $\frac{3}{4}$ valent $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$. Le mot « de » se traduit par une multiplication.

Qu'est-ce que l'inverse d'un nombre ?

L'inverse d'un nombre non nul $x$ est le nombre $\frac{1}{x}$, tel que le produit des deux vaut 1. L'inverse de $\frac{3}{5}$ est $\frac{5}{3}$.

Nombres rationnels : les quatre opérations

Définitions

Définition 1 — nombre rationnel. Un nombre rationnel est un nombre égal au quotient de deux entiers relatifs : il peut s’écrire $\dfrac{a}{b}$ avec $b \neq 0$ . Une fraction est à la fois un nombre et une écriture : c’est le nombre qui, multiplié par $b$ , donne $a$ . Exemple : $\dfrac{3}{4}$ , $-\dfrac{22}{7}$ , $5 = \dfrac{5}{1}$ et $0{,}75 = \dfrac{3}{4}$ sont rationnels. Tous les décimaux sont rationnels, mais l’inverse est faux : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ n’est pas décimal. Et $\dfrac{3}{7} \times 7 = 3$ : une fraction est un quotient.

Définition 2 — inverse d’un nombre. L’inverse d’un nombre non nul $x$ est le nombre qui, multiplié par $x$ , donne $1$ ; on le note $\dfrac{1}{x}$ . L’inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ (avec $a \neq 0$ ). Zéro n’a pas d’inverse.

Nombre	$\dfrac{3}{5}$	$7$	$-\dfrac{4}{9}$	$0{,}5$
Inverse	$\dfrac{5}{3}$	$\dfrac{1}{7}$	$-\dfrac{9}{4}$	$2$

Exemple : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{5}{3} = 1$ . Attention, inverse ≠ opposé : l’inverse de 2 est $\dfrac{1}{2}$ (produit égal à 1), son opposé est $-2$ (somme égale à 0).

Propriétés

Propriété 1 — signe d’une fraction. Le signe d’une fraction suit la règle des signes, et peut se placer au numérateur, au dénominateur ou devant la barre :

$\frac{-3}{5} = \frac{3}{-5} = -\frac{3}{5} \qquad\qquad \frac{-3}{-5} = \frac{3}{5}$

Exemple : $\dfrac{-6}{-8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$ .

Propriété 2 — fractions égales et simplification. On ne change pas un quotient en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : $\dfrac{a \times k}{b \times k} = \dfrac{a}{b}$ . Exemple : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{3 \times 6}{4 \times 6} = \dfrac{3}{4}$ .

Propriété 3 — addition et soustraction. Pour additionner ou soustraire des fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs :

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$

Exemple : $\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{6} = \dfrac{6}{30} - \dfrac{35}{30} = -\dfrac{29}{30}$ .

Propriété 4 — multiplication et fraction d’une quantité. Pour multiplier des fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux — sans réduire au même dénominateur :

$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$

Prendre la fraction d’une quantité, d’un nombre ou d’une fraction, c’est multiplier : le mot « de » se traduit par $\times$ . Exemple : les $\dfrac{3}{5}$ de 40 € valent $\dfrac{3}{5} \times 40 = 24$ €, et $\dfrac{5}{2} \times \dfrac{7}{3} = \dfrac{35}{6}$ .

Propriété 5 — division : multiplier par l’inverse. Diviser par un nombre non nul revient à multiplier par son inverse :

$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Exemple : $\dfrac{5}{9} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{9} \times 2 = \dfrac{10}{9}$ . Une fraction de fractions se lit de la même façon : $\dfrac{\;\frac{7}{4}\;}{\;\frac{1}{9}\;} = \dfrac{7}{4} \times 9 = \dfrac{63}{4}$ .

Méthodes

Méthode 1 — simplifier une fraction.

Chercher un diviseur commun au numérateur et au dénominateur (le plus grand possible).
Diviser les deux par ce nombre (Propriété 2), et recommencer tant que c’est possible.

Exemple : $\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$ . Simplifier avant de multiplier évite les grands nombres : $\dfrac{8}{5} \times \dfrac{15}{4} = \dfrac{8 \times 15}{5 \times 4} = \dfrac{2 \times 3}{1 \times 1} = 6$ .

Méthode 2 — comparer des rationnels.

Réduire les fractions au même dénominateur (le plus petit multiple commun quand on le voit).
Comparer les numérateurs.
Avec des négatifs, l’ordre s’inverse : entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro.

Exemple : $\dfrac{5}{18} = \dfrac{10}{36}$ et $\dfrac{7}{12} = \dfrac{21}{36}$ , donc $\dfrac{5}{18} < \dfrac{7}{12}$ . Et comme $\dfrac{22}{7} \approx 3{,}14 > 3$ , on a $-\dfrac{22}{7} < -3$ .

Méthode 3 — additionner ou soustraire des fractions.

Réduire au même dénominateur (Propriété 2) ; un entier s’écrit sur le dénominateur voulu.
Additionner ou soustraire les numérateurs (Propriété 3).
Simplifier le résultat si possible (Méthode 1).

Exemple : $\dfrac{5}{3} - 6 = \dfrac{5}{3} - \dfrac{18}{3} = -\dfrac{13}{3}$ .

Méthode 4 — multiplier des fractions, prendre une fraction d’une fraction.

Traduire le mot « de » par une multiplication (Propriété 4).
Multiplier numérateurs entre eux et dénominateurs entre eux, en simplifiant avant de calculer si possible.

Exemple : il reste les $\dfrac{3}{4}$ d’un gâteau et Léo en mange les $\dfrac{2}{3}$ : il a mangé $\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$ du gâteau entier.

Sur la figure, le gâteau est découpé en 12 parts : les $\dfrac{3}{4}$ restants occupent 9 parts, et les $\dfrac{2}{3}$ de ces 9 parts font 6 parts, soit la moitié du gâteau.

Méthode 5 — diviser par une fraction.

Remplacer la division par la multiplication par l’inverse (Propriété 5, Définition 2).
Terminer avec la Méthode 4.

Exemple : $\dfrac{7}{4} \div 4 = \dfrac{7}{4} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{16}$ , et $\dfrac{5}{9} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{9} \times 2 = \dfrac{10}{9}$ .

Méthode 6 — enchaîner les opérations.

Les priorités sont inchangées : parenthèses, puis $\times$ et $\div$ , puis $+$ et $-$ .
Pour chaque étape, utiliser la bonne méthode : même dénominateur pour $+$ et $-$ (Méthode 3), pas pour $\times$ (Méthode 4).

Exemple : $\dfrac{1}{2} \times \left(\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{6}\right)$ : la parenthèse d’abord, $\dfrac{1}{5} - \dfrac{7}{6} = \dfrac{6}{30} - \dfrac{35}{30} = -\dfrac{29}{30}$ , puis $\dfrac{1}{2} \times \left(-\dfrac{29}{30}\right) = -\dfrac{29}{60}$ .

Pièges classiques

On ne réduit pas au même dénominateur pour multiplier : $\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}$ , et non $\dfrac{3}{6} \times \dfrac{2}{6}$ . Le dénominateur commun sert uniquement à l’addition et à la soustraction.
Inverse ≠ opposé : l’inverse de 2 est $\dfrac{1}{2}$ (produit égal à 1), son opposé est $-2$ (somme égale à 0). Zéro a un opposé (lui-même) mais pas d’inverse.
Avec des négatifs, comparer demande de l’attention : $\dfrac{22}{7} > 3$ mais $-\dfrac{22}{7} < -3$ — entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de zéro.

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Méthodes

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