Comment lire une valeur sur un graphique ?

Pour connaître la grandeur en ordonnée à partir d'une valeur en abscisse, on part de cette valeur sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à la courbe, puis on lit à l'horizontale sur l'axe vertical. Pour l'inverse, on fait le chemin en sens contraire.

Comment produire une formule à partir d'une figure ?

On nomme la longueur variable par une lettre, on exprime les autres longueurs en fonction d'elle, puis on écrit la grandeur cherchée (aire, périmètre) avec ces expressions.

Comment remonter un programme de calcul ?

On part du résultat et on applique les opérations inverses dans l'ordre inverse : si le programme fait « multiplier par 3 puis ajouter 5 », on soustrait 5 puis on divise par 3.

Notion de fonction : formules et graphiques

Définitions

Définition 1 — variable et formule. Quand une grandeur dépend d’une autre, on nomme la grandeur qui varie par une lettre, la variable (souvent $x$ ou $t$ ), et on exprime la grandeur étudiée en fonction de cette variable par une formule. Exemple : un réservoir de 500 L se vide à 20 L par minute : le volume restant après $t$ minutes est donné par la formule $V = 500 - 20t$ .

Définition 2 — programme de calcul. Un programme de calcul enchaîne des étapes de calcul dans un ordre donné. Appliqué à une variable $x$ , il produit une formule. Exemple : « choisir un nombre, le multiplier par 3, puis ajouter 5 » :

Nombre de départ	$4$	$10$	$x$
$\times 3$	$12$	$30$	$3x$
$+ 5$	$17$	$35$	$3x + 5$

Définition 3 — tableau de valeurs. Un tableau de valeurs rassemble des valeurs de la variable et les valeurs correspondantes de la grandeur, calculées avec la formule. Exemple : pour $A = 260 - 4x^2$ :

$x$ (cm)	0	1	2	3	4	5	6
$A$ (cm²)	260	256	244	224	196	160	116

Définition 4 — représentation graphique. Chaque colonne d’un tableau de valeurs donne un point : la valeur de la variable en abscisse (axe horizontal), la valeur de la grandeur en ordonnée (axe vertical). En plaçant ces points dans un repère et en les reliant, on obtient la représentation graphique, qui montre d’un coup d’œil comment la grandeur varie. Exemple : le point $(2\,;244)$ de la courbe de $A = 260 - 4x^2$ se lit « pour $x = 2$ , l’aire vaut 244 cm² ».

Propriétés

Propriété 1 — une abscisse, une seule ordonnée. Sur le graphique d’une grandeur qui dépend d’une autre, à chaque abscisse correspond une seule ordonnée : à un instant précis, un four a une seule température. En revanche, une même ordonnée peut correspondre à plusieurs abscisses : un four peut passer deux fois par 110 °C s’il chauffe puis refroidit. Exemple : avec la formule $y = x^2$ , les deux abscisses $3$ et $-3$ donnent la même ordonnée $9$ .

Propriété 2 — formule exacte, lecture approchée. La formule permet de calculer une valeur exacte ; la lecture sur un graphique donne une valeur approchée, mais rapide. Un tableau de valeurs donne des valeurs exactes, mais seulement pour les valeurs de la variable qui y figurent. Exemple : le graphique du four indique « environ 155 °C » à 7 min ; seule la formule donnerait la valeur exacte.

Propriété 3 — dépendance et proportionnalité. Une dépendance entre deux grandeurs n’est une proportionnalité que si la formule est de la forme $y = k \times x$ : les points sont alors alignés sur une droite passant par l’origine. Exemple : $d = 90t$ est une proportionnalité ; $V = 500 - 20t$ (points alignés, mais droite ne passant pas par l’origine) et $A = 260 - 4x^2$ (points non alignés) n’en sont pas.

Méthodes

Méthode 1 — appliquer un programme de calcul.

Appliquer les étapes dans l’ordre, l’une après l’autre, au nombre de départ.
Pour obtenir la formule, appliquer les mêmes étapes à la variable $x$ (Définition 2).

Exemple : « multiplier par 3, puis ajouter 5 » appliqué à 4 : $4 \to 12 \to 17$ . Appliqué à $x$ : $x \to 3x \to 3x + 5$ . On vérifie : $3 \times 4 + 5 = 17$ .

Méthode 2 — remonter un programme de calcul.

Partir du résultat.
Appliquer les opérations inverses dans l’ordre inverse ( $+ \leftrightarrow -$ , $\times \leftrightarrow \div$ ).
Vérifier en appliquant le programme au nombre trouvé.

Exemple : « multiplier par 3, puis ajouter 5 » a donné 26 : $26 \xrightarrow{\ -\,5\ } 21 \xrightarrow{\ \div\,3\ } 7$ . Vérification : $7 \times 3 + 5 = 26$ . Cela revient à résoudre l’équation $3x + 5 = 26$ .

Méthode 3 — produire une formule.

Nommer la longueur ou la quantité variable par une lettre.
Exprimer les autres grandeurs en fonction de cette lettre.
Écrire la grandeur cherchée (aire, périmètre, prix, volume…) avec ces expressions.

Exemple : on enlève quatre carrés de côté $x$ aux coins d’un rectangle de 20 cm sur 13 cm : aire du rectangle $20 \times 13 = 260$ , aire des quatre carrés $4x^2$ , d’où $A = 260 - 4x^2$ . Autre exemple : un rectangle de périmètre 30 cm et de côté $x$ : le demi-périmètre vaut 15, l’autre côté mesure $15 - x$ , et $A = x(15 - x)$ .

Méthode 4 — construire un tableau de valeurs et un graphique.

Substituer plusieurs valeurs de la variable dans la formule (Définition 3), en respectant les priorités de calcul.
Placer les points $(x\,;y)$ dans un repère et les relier (Définition 4).
Observer : points alignés ou non, passage par l’origine, grandeur qui augmente ou diminue (Propriété 3).

Exemple : $A = 260 - 4x^2$ pour $x = 3$ : $4 \times 3^2 = 36$ , donc $A = 224$ — on calcule $x^2$ avant de multiplier par 4. La courbe n’est pas une droite : l’aire diminue de plus en plus vite, et il n’y a pas proportionnalité.

Méthode 5 — lire une valeur sur un graphique.

Repérer quelle grandeur est sur quel axe — c’est écrit sur les axes.
Lire une ordonnée (à partir d’une abscisse) : se placer sur l’axe horizontal, monter jusqu’à la courbe, lire sur l’axe vertical.
Lire une abscisse (à partir d’une ordonnée) : se placer sur l’axe vertical, aller horizontalement jusqu’à la courbe, descendre lire sur l’axe horizontal.

Exemple : température d’un four en fonction du temps : à 7 min, on lit environ 155 °C (départ de l’axe horizontal) ; le four atteint 110 °C vers 3,5 min (départ de l’axe vertical). La lecture est approchée (Propriété 2).

Pièges classiques

Axe horizontal et axe vertical ne jouent pas le même rôle. « Quelle est la température à 7 min ? » se lit en partant de l’axe horizontal ; « à quel moment fait-il 110 °C ? » se lit en partant de l’axe vertical (Méthode 5).

Une formule qui contient $x$ n’est pas forcément une proportionnalité. $A = 260 - 4x^2$ n’est pas de la forme $k \times x$ : pour $x = 0$ , $A = 260 \neq 0$ , et la courbe n’est pas une droite (Propriété 3).

Pour remonter un programme, l’ordre s’inverse aussi. Si le programme fait « $\times 3$ puis $+ 5$ », on commence par $- 5$ et on finit par $\div 3$ — pas l’inverse (Méthode 2).

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Méthodes

Pièges classiques

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