Comment tester si un nombre est solution d'une équation ?

On remplace l'inconnue par ce nombre dans chaque membre et on calcule séparément. Si les deux membres donnent le même résultat, le nombre est solution.

Comment résoudre une équation du premier degré ?

On regroupe les termes en $x$ d'un côté et les nombres de l'autre, en ajoutant ou soustrayant la même quantité aux deux membres, puis on divise par le coefficient de $x$.

Comment un tableur peut-il aider à résoudre une équation ?

On place les valeurs de $x$ dans une colonne et, dans la colonne voisine, une formule qui calcule chaque membre de l'équation. On repère la ligne où les deux membres sont égaux (solution exacte) ou où leur différence change de signe (solution encadrée). C'est une conjecture, qu'on confirme ensuite par le calcul.

Équations du premier degré

Définitions

Définition 1 — équation, inconnue, membres. Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu, désigné par une lettre (l’inconnue). Les deux expressions de part et d’autre du signe $=$ sont les membres de l’équation.

$\underbrace{5x - 6}_{\text{membre de gauche}} = \underbrace{3x + 2}_{\text{membre de droite}}$

Exemple : dans $5x - 6 = 3x + 2$ , l’inconnue est $x$ .

Définition 2 — solution d’une équation. Une solution est une valeur de l’inconnue qui rend l’égalité vraie. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes ses solutions. Exemple : 4 est solution de $5x - 6 = 3x + 2$ , car $5 \times 4 - 6 = 14$ et $3 \times 4 + 2 = 14$ .

Propriétés

Une équation est une balance en équilibre : elle reste équilibrée si l’on fait la même chose des deux côtés.

Propriété 1 — ajouter ou soustraire aux deux membres. On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en soustrayant un même nombre aux deux membres. Exemple : $x + 9 = 5$ devient, en soustrayant 9 des deux côtés, $x = 5 - 9 = -4$ .

Propriété 2 — multiplier ou diviser les deux membres. On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant les deux membres par un même nombre non nul. Exemple : $7x = 5$ devient, en divisant par 7, $x = \dfrac{5}{7}$ ; et $\dfrac{x}{12} = \dfrac{1}{4}$ devient, en multipliant par 12, $x = \dfrac{12}{4} = 3$ .

Propriété 3 — nombre de solutions. Une équation du premier degré du type $ax + b = cx + d$ a, sauf cas particuliers, une seule solution. Exemple : $2x + 5 = -x - 4$ a pour seule solution $-3$ . (Cas particuliers : $x + 1 = x + 1$ est vraie pour tout nombre ; $x = x + 1$ n’a aucune solution.)

Méthodes

Méthode 1 — tester si un nombre est solution.

Remplacer l’inconnue par le nombre dans chaque membre séparément.
Comparer : si les deux membres donnent le même résultat, le nombre est solution (Définition 2).

Exemple : 4 est-il solution de $3x + 2 = 8$ ? Gauche : $3 \times 4 + 2 = 14$ ; droite : $8$ . Non. Tester permet de vérifier une solution, pas de la trouver : il faudrait essayer une infinité de nombres.

Méthode 2 — conjecturer avec un tableur ou un algorithme.

Faire calculer un membre (ou les deux) pour de nombreuses valeurs de l’inconnue : valeurs de $x$ en colonne A, formule en colonne B.
Repérer la ligne où l’égalité est vraie (solution exacte) ou là où la différence des membres change de signe (solution encadrée) ; affiner le pas si besoin.
Conclure prudemment : c’est une conjecture, que seule la résolution algébrique démontre (Méthode 3).

Exemple : pour $3x + 2 = 8$ , on écrit les valeurs de $x$ en colonne A et la formule =3*A1+2 en B1, recopiée vers le bas.

La colonne B affiche 8 en face de $x = 2$ : on conjecture $x = 2$ . Quand la solution n’est pas entière, le tableur l’encadre : pour $4x + 2 = 0$ , la colonne =4*A1+2 passe de $2$ (pour $x = 0$ ) à $-2$ (pour $x = -1$ ) : la solution est entre $-1$ et $0$ ; en affinant par dixièmes on trouve $-0{,}5$ . Avec un algorithme, c’est le même principe :

pour x allant de 0 à 10
    si 3*x + 2 = 8 alors afficher x

Méthode 3 — résoudre une équation du premier degré.

S’il y a des parenthèses, développer d’abord ; s’il y a un dénominateur, multiplier les deux membres pour le faire disparaître (Propriété 2).
Regrouper les termes en $x$ d’un côté, les nombres de l’autre (Propriété 1).
Diviser les deux membres par le coefficient de $x$ (Propriété 2).
Vérifier en reportant la valeur trouvée dans l’équation de départ (Méthode 1).

Exemple : $5x - 7 = 3$ : on ajoute 7 ( $5x = 10$ ) puis on divise par 5 ( $x = 2$ ). Avec des $x$ des deux côtés : $2x + 5 = -x - 4$ : on ajoute $x$ ( $3x + 5 = -4$ ), on soustrait 5 ( $3x = -9$ ), on divise par 3 ( $x = -3$ ) ; vérification : $2(-3) + 5 = -1$ et $-(-3) - 4 = -1$ . Avec parenthèses : $3(x - 2) = x + 4$ donne $3x - 6 = x + 4$ , puis $2x = 10$ , donc $x = 5$ .

Méthode 4 — mettre un problème en équation.

Choisir l’inconnue : ce que l’on cherche, en précisant l’unité.
Traduire chaque information de l’énoncé par une expression littérale.
Écrire l’égalité imposée par l’énoncé, résoudre (Méthode 3), puis répondre à la question posée en vérifiant la cohérence.

Exemple : un triangle équilatéral de côté $x$ et un carré de côté $x - 2$ ont le même périmètre : $3x = 4(x - 2) = 4x - 8$ , d’où $x = 8$ — triangle de côté 8 cm, carré de côté 6 cm, périmètres de 24 cm. Autre exemple : Jules a 3 ans de plus que sa sœur et à eux deux ils ont 21 ans : $x + (x + 3) = 21$ , soit $2x = 18$ et $x = 9$ : la sœur a 9 ans, Jules 12 ans.

Pièges classiques

Changer de côté, c’est changer de signe — mais seulement pour les termes. Dans $5x = 10$ , le 5 multiplie $x$ : on divise, $x = 2$ . Écrire $x = 10 - 5 = 5$ est l’erreur classique. Un terme qui s’ajoute passe de l’autre côté en se soustrayant ; un facteur qui multiplie passe de l’autre côté en divisant.
Toujours vérifier la solution en la substituant dans l’équation de départ (pas dans une ligne intermédiaire, qui peut déjà contenir l’erreur).
Un tableur ou un algorithme ne démontre pas : il fournit une conjecture (exacte ou approchée) ; seule la résolution algébrique prouve qu’il n’y a pas d’autre solution.

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