Quelle est la différence entre développer et factoriser ?

Développer transforme un produit en somme : $3(x+4) = 3x + 12$. Factoriser fait l'inverse, transformer une somme en produit : $3x + 12 = 3(x+4)$. Les deux s'appuient sur la distributivité $k(a+b) = ka + kb$.

Comment savoir si une expression est une somme ou un produit ?

On regarde la dernière opération effectuée si l'on remplaçait la lettre par un nombre. Dans $3x + 12$, on termine par une addition : c'est une somme. Dans $3(x+4)$, on termine par une multiplication : c'est un produit.

Comment démontrer une propriété « pour tous les nombres » avec le calcul littéral ?

On désigne le nombre par une lettre et on traduit la propriété en expression. Par exemple, un entier pair s'écrit $2n$ et un entier impair $2n + 1$. Deux programmes de calcul sont équivalents si leurs expressions réduites sont identiques. Tester des exemples ne suffit pas : ils pourraient coïncider par hasard.

Calcul littéral

Définitions

Définition 1 — expression littérale et formule. Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres quelconques. Une formule est une expression littérale valable pour toutes les valeurs de la lettre ; on peut tester sa vraisemblance en remplaçant la lettre par quelques nombres (substitution).

Situation	Formule
Aire d’un rectangle de côtés $x$ et $x + 3$	$x(x + 3)$
Périmètre d’un triangle isocèle de base $b$ et de côtés $c$	$b + 2c$
Un entier pair	$2n$
Un entier impair	$2n + 1$
Deux entiers consécutifs	$n$ et $n + 1$

Exemple : pour $x = 2$ , le rectangle $2 \times 5$ a bien pour aire $x(x+3) = 2 \times 5 = 10$ .

Définition 2 — somme et produit. Une expression est une somme si sa dernière opération est une addition ou une soustraction, un produit si c’est une multiplication. On identifie cette structure en imaginant le calcul avec un nombre à la place de la lettre.

Expression	Dernière opération	Nature
$3x + 12$	une addition	somme
$3(x + 4)$	une multiplication	produit
$5x - 2x^2$	une soustraction	somme (différence)
$x(x - 1)$	une multiplication	produit

Exemple : dans $3(x + 4)$ , si $x = 2$ on calcule $3 \times 6$ en dernier : c’est un produit.

Définition 3 — développer, factoriser, réduire. Développer, c’est transformer un produit en somme. Factoriser, c’est l’inverse : transformer une somme en produit. Réduire, c’est regrouper les termes de même partie littérale. Exemple : développer $3(x + 4) = 3x + 12$ ; factoriser $3x + 12 = 3(x + 4)$ ; réduire $3x + 5x = 8x$ .

Propriétés

Propriété 1 — distributivité simple. Pour tous nombres $k$ , $a$ et $b$ :

$k(a + b) = ka + kb \qquad\qquad k(a - b) = ka - kb$

C’est la propriété du chapitre. Elle se lit dans les deux sens : de gauche à droite pour développer, de droite à gauche pour factoriser. Exemple : $3(4x - 2) = 12x - 6$ et, dans l’autre sens, $12x - 30 = 6(2x - 5)$ .

Propriété 2 — conventions d’écriture et automatismes. Le signe $\times$ s’efface devant une lettre ou une parenthèse :

$3 \times x = 3x \qquad 1 \times x = x \qquad x + x = 2x \qquad x \times x = x^2$ $3x + 2x = 5x \qquad\qquad 3x \times 2x = 6x^2$

Exemple : $x$ et $x^2$ ne se regroupent pas : $12x + 24x^2$ est déjà réduit.

Propriété 3 — pairs, impairs et consécutifs. Pour $n$ entier : un entier pair s’écrit $2n$ , un entier impair s’écrit $2n + 1$ , deux entiers consécutifs s’écrivent $n$ et $n + 1$ . Exemple : pour $n = 4$ , $2n = 8$ est pair et $2n + 1 = 9$ est impair. Un nombre est pair exactement quand il se factorise par 2.

Méthodes

Méthode 1 — produire une formule et tester par substitution.

Désigner le nombre inconnu ou variable par une lettre.
Traduire la situation en expression littérale (Définition 1).
Tester la vraisemblance en remplaçant la lettre par une ou deux valeurs — et tester de même si une égalité est vraie pour une valeur donnée, en calculant chaque membre séparément.

Exemple : un carré de côté $x$ accolé à un rectangle de $x$ sur 4 a pour aire $x^2 + 4x$ . Pour $x = 1$ : $1 + 4 = 5$ , ce qui correspond bien à la figure de largeur 1 et de longueur 5.

Méthode 2 — développer et réduire.

Distribuer le facteur sur chaque terme de la parenthèse (Propriété 1), en appliquant la règle des signes.
Réduire : regrouper les termes en $x$ , les termes en $x^2$ , les nombres (Propriété 2).

Exemple : $3x(4 + 8x) = 12x + 24x^2$ ; $17x + 4x(5 - x) = 17x + 20x - 4x^2 = 37x - 4x^2$ ; $6(3 - 1{,}5x) - 9x = 18 - 9x - 9x = 18 - 18x$ . Attention aux signes : $-2(x - 4) = -2x + 8$ , car moins fois moins donne plus.

Méthode 3 — factoriser.

Chercher le plus grand facteur commun à tous les termes (aux nombres et aux lettres).
L’écrire devant, et mettre entre parenthèses ce qui reste de chaque terme (Propriété 1 lue de droite à gauche).
Vérifier en redéveloppant : on doit retomber sur l’expression de départ.

Exemple : $12x - 30 = 6 \times 2x - 6 \times 5 = 6(2x - 5)$ ; $15x^2 + 18x = 3x \times 5x + 3x \times 6 = 3x(5x + 6)$ ; $27x + 3 = 3 \times 9x + 3 \times 1 = 3(9x + 1)$ — le terme 3 devient 1, ne pas l’oublier.

Méthode 4 — comparer deux programmes de calcul.

Traduire chaque programme en expression littérale (Méthode 1).
Développer et réduire chaque expression (Méthode 2).
Si les expressions réduites sont identiques, les programmes donnent le même résultat pour tous les nombres ; essayer des valeurs ne prouve rien, elles pourraient coïncider par hasard.

Exemple : programme A « tripler, ajouter 15 » : $3x + 15$ ; programme B « ajouter 5, multiplier par 3 » : $3(x + 5) = 3x + 15$ . Les expressions sont identiques : les programmes sont équivalents.

Méthode 5 — démontrer avec le calcul littéral.

Désigner le ou les nombres par des lettres, en utilisant les bonnes écritures : pair $= 2n$ , impair $= 2n + 1$ (Propriété 3).
Traduire la propriété en expression, développer et réduire (Méthode 2), souvent factoriser par 2 pour conclure (Méthode 3).
Pour réfuter une affirmation, un seul contre-exemple suffit.

Exemple : la somme de deux entiers impairs consécutifs, $(2n + 1) + (2n + 3) = 4n + 4 = 2(2n + 2)$ , est 2 fois un entier : elle est paire pour tout $n$ — les exemples $3 + 5 = 8$ ou $7 + 9 = 16$ ne font que le suggérer. De même, le produit de deux entiers consécutifs $n(n + 1)$ est toujours pair : l’un des deux facteurs est pair.

Pièges classiques

Une factorisation incomplète n’est pas terminée : $12x - 30 = 2(6x - 15)$ est exact, mais $6x - 15$ contient encore un facteur 3 ; la réponse attendue est $6(2x - 5)$ . Après avoir factorisé, vérifier que les nombres restés dans la parenthèse n’ont plus de diviseur commun.
$x$ et $x^2$ ne se regroupent pas : $12x + 24x^2$ est déjà réduit ; et $3x \times 8x = 24x^2$ , pas $24x$ .
Attention aux signes en développant : dans $-2(x - 4)$ , le facteur $-2$ multiplie chaque terme, y compris le $-4$ : $-2(x - 4) = -2x + 8$ .
Des exemples ne démontrent pas : ils peuvent suggérer une propriété (ou la réfuter, par contre-exemple), mais seule une expression littérale prouve « pour tous les nombres ».

Définitions

Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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