Brevet Géométrie vecteurstranslationrelation de Chaslesparallélogrammesomme de vecteursbrevet

Translations et vecteurs

Vecteurs en 3ème : translation définie par un point et son image, vecteur associé, vecteurs égaux, vecteur nul, opposé d'un vecteur, somme de deux vecteurs par enchaînement de translations, relation de Chasles et lien avec le parallélogramme.

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Définitions

Définition 1 — translation. La translation qui transforme AA en A′A' fait glisser chaque point de la figure comme AA glisse vers A′A' : même direction, même sens, même longueur. Exemple : si B′B' est l’image de BB par cette translation, les segments [AA′][AA'] et [BB′][BB'] sont parallèles, de même longueur et orientés dans le même sens.

Définition 2 — vecteur. Le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est le déplacement de la translation qui transforme AA en BB. Il est défini par trois choses :

CaractéristiquePour AB→\overrightarrow{AB}
une directioncelle de la droite (AB)(AB)
un sensde AA vers BB
une longueurla distance ABAB

AA est l’origine du vecteur, BB son extrémité. Un vecteur peut aussi être noté par une seule lettre : u→\overrightarrow{u}. Exemple : le point de départ n’a pas d’importance — seul compte le déplacement.

Définition 3 — vecteurs égaux. Deux vecteurs sont égaux quand ils ont la même direction, le même sens et la même longueur : ils représentent alors la même translation, même s’ils ne partent pas du même point. Exemple : si II est le milieu de [AB][AB], alors AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} — même direction, même sens, même longueur.

Définition 4 — vecteur nul et vecteur opposé. Le vecteur nul 0→\overrightarrow{0} est le vecteur de la translation qui ne déplace rien : AA→=BB→=0→\overrightarrow{AA} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0} ; sa longueur est 00. L’opposé de AB→\overrightarrow{AB} est BA→\overrightarrow{BA} : même direction, même longueur, sens contraire. On note BA→=−AB→\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}. Exemple : la translation de vecteur BA→\overrightarrow{BA} « défait » celle de vecteur AB→\overrightarrow{AB} : appliquer l’une puis l’autre ramène chaque point à sa place.

Définition 5 — somme de deux vecteurs. Appliquer la translation de vecteur u→\overrightarrow{u}, puis celle de vecteur v→\overrightarrow{v}, revient à appliquer une seule translation : son vecteur est, par définition, la somme u→+v→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}. Construction bout à bout : on place l’origine de v→\overrightarrow{v} sur l’extrémité de u→\overrightarrow{u} ; la somme va de l’origine de u→\overrightarrow{u} à l’extrémité de v→\overrightarrow{v}. Exemple : deux glissements successifs forment un seul glissement.

Théorèmes et propriétés

Propriété 1 — translation et parallélogramme. Si la translation qui transforme AA en A′A' transforme BB en B′B', alors ABB′A′ABB'A' est un parallélogramme (éventuellement aplati) : les flèches de déplacement AA′→\overrightarrow{AA'} et BB′→\overrightarrow{BB'} sont égales. Exemple : c’est la définition ponctuelle de la translation — « B′B' est l’image de BB » signifie exactement « ABB′A′ABB'A' est un parallélogramme ».

Propriété 2 — vecteurs égaux et parallélogramme. AB→=DC→  ⟺  ABCD est un paralleˊlogramme\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} \iff ABCD \text{ est un parallélogramme} Dans les deux sens : si ABCDABCD est un parallélogramme, alors AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} et AD→=BC→\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} ; si AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}, alors ABCDABCD est un parallélogramme (éventuellement aplati si les quatre points sont alignés). Attention à l’ordre des lettres : AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} donne ABCDABCD, pas ABDCABDC — on tourne autour du quadrilatère A→B→C→DA \to B \to C \to D. Exemple : AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} se lit « la translation qui envoie AA sur BB envoie DD sur CC ».

Propriété 3 — relation de Chasles. Pour tous points AA, BB, CC : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} Aller de AA à BB, puis de BB à CC, c’est aller de AA à CC : la lettre intermédiaire disparaît. Elle s’enchaîne autant de fois qu’on veut, et elle explique le vecteur nul : AB→+BA→=AA→=0→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \overrightarrow{AA} = \overrightarrow{0}. Condition d’application : l’extrémité du premier vecteur doit être l’origine du second. Exemple : MN→+NP→+PQ→=MP→+PQ→=MQ→\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{NP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MP} + \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{MQ}.

Propriété 4 — règle du parallélogramme. Quand les deux vecteurs partent du même point, leur somme est la diagonale du parallélogramme qu’ils forment : si ABCDABCD est un parallélogramme, AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC} C’est la construction bout à bout où l’on a remplacé AD→\overrightarrow{AD} par son égal BC→\overrightarrow{BC} (Propriété 2) : AB→+AD→=AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} par la relation de Chasles. Exemple : les deux constructions (bout à bout, parallélogramme) donnent toujours le même vecteur somme.

Propriété 5 — milieu d’un segment. II est le milieu de [AB][AB] si et seulement si AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}. Dans ce cas, IA→\overrightarrow{IA} et IB→\overrightarrow{IB} sont opposés : IA→+IB→=0→\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}. Exemple : ne pas confondre AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} (vrai pour un milieu) avec AI→=BI→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI} (faux : sens contraires).

Méthodes

Méthode 1 — construire l’image d’un point par une translation.

  1. La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} envoie MM sur le point M′M' tel que MM′→=AB→\overrightarrow{MM'} = \overrightarrow{AB}.
  2. Construire donc le parallélogramme ABM′MABM'M : reporter depuis MM la direction, le sens et la longueur de AB→\overrightarrow{AB} (Propriétés 1 et 2).

Exemple résolu : sur quadrillage, si AB→\overrightarrow{AB} correspond à « 3 carreaux à droite, 1 vers le haut », l’image de MM s’obtient en partant de MM et en avançant de 3 carreaux à droite et 1 vers le haut.

Méthode 2 — démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme.

  1. Montrer une égalité de vecteurs entre deux côtés opposés : AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} (même direction, même sens, même longueur), par exemple en montrant que CC est l’image de DD par la translation qui transforme AA en BB.
  2. Conclure avec la Propriété 2 : ABCDABCD est un parallélogramme.
  3. Bien vérifier l’ordre des lettres : l’égalité AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} correspond à ABCDABCD, l’égalité AB→=CD→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} correspond à ABDCABDC.

Exemple résolu : si la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} envoie DD sur CC, alors DC→=AB→\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}, donc ABCDABCD est un parallélogramme.

Méthode 3 — additionner deux vecteurs.

  1. Bout à bout (cas général) : placer l’origine du second vecteur sur l’extrémité du premier (en traçant un vecteur égal, Définition 3) ; la somme va de l’origine du premier à l’extrémité du second (Définition 5).
  2. Règle du parallélogramme (si les deux vecteurs partent du même point) : compléter le parallélogramme ; la somme est sa diagonale issue de ce point (Propriété 4).

Exemple résolu : pour AB→+AD→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} avec ABCDABCD parallélogramme, inutile de déplacer les vecteurs : la somme est la diagonale AC→\overrightarrow{AC}. Pour u→+v→\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} quelconques, on trace v→\overrightarrow{v} à la suite de u→\overrightarrow{u} et on joint le départ à l’arrivée.

Méthode 4 — simplifier une somme avec la relation de Chasles.

  1. Vérifier que les vecteurs s’enchaînent : l’extrémité de l’un est l’origine du suivant ; sinon, réordonner les termes (l’addition est commutative) ou remplacer un vecteur par son opposé (CB→=−BC→\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC}, Définition 4).
  2. Appliquer la Propriété 3 : chaque lettre intermédiaire disparaît ; il ne reste que le départ et l’arrivée.
  3. Si le départ et l’arrivée coïncident, la somme est le vecteur nul.

Exemple résolu : AB→+CA→=CA→+AB→=CB→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CB} — on réordonne pour faire apparaître l’enchaînement C→A→BC \to A \to B.

Pièges classiques

  • Un vecteur n’est pas un segment. Les segments [AB][AB] et [BA][BA] sont le même objet ; les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont opposés. Et deux vecteurs égaux peuvent être dessinés à deux endroits différents du plan, ce qui est impossible pour deux segments.
  • Chasles exige l’enchaînement. AB→+CB→≠AC→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} \neq \overrightarrow{AC} en général : la lettre du milieu doit être l’extrémité du premier vecteur et l’origine du second. Il faut d’abord écrire CB→=−BC→\overrightarrow{CB} = -\overrightarrow{BC} ou réordonner.
  • L’ordre des lettres du parallélogramme. AB→=DC→\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC} donne le parallélogramme ABCDABCD (A→B→C→DA \to B \to C \to D en tournant), et non ABDCABDC, qui serait croisé.
  • Milieu. II milieu de [AB][AB] s’écrit AI→=IB→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} et non AI→=BI→\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{BI} : ces deux derniers vecteurs ont des sens contraires.

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