Quelle différence entre symétrie axiale et symétrie centrale ?

La symétrie axiale est un retournement par rapport à une droite, comme dans un miroir. La symétrie centrale est un demi-tour autour d'un point. La symétrie axiale inverse le sens de lecture de la figure, pas la symétrie centrale.

Symétries et transformations

Définitions

Définition 1 — symétrie axiale. La symétrie axiale d’axe $(d)$ associe à chaque point $M$ le point $M'$ tel que $(d)$ soit la médiatrice de $[MM']$ : c’est un pliage le long de $(d)$ , comme dans un miroir. Elle inverse le sens de lecture de la figure. Exemple : si $M$ est à 2 cm de l’axe, $M'$ est à 2 cm de l’autre côté, sur la perpendiculaire à l’axe passant par $M$ .

Définition 2 — symétrie centrale. La symétrie centrale de centre $O$ associe à chaque point $M$ le point $M'$ tel que $O$ soit le milieu de $[MM']$ : c’est un demi-tour (rotation de $180^\circ$ ) autour de $O$ . Elle conserve le sens de lecture. Exemple : si $OM = 4$ cm, alors $OM' = 4$ cm et $MM' = 8$ cm, les trois points étant alignés.

Définition 3 — point invariant. Un point est invariant par une transformation s’il est confondu avec sa propre image. Exemple : par la symétrie d’axe $(d)$ , tout point de $(d)$ est invariant.

Définition 4 — axe et centre de symétrie d’une figure. Une figure admet un axe de symétrie si elle est sa propre image par la symétrie d’axe correspondante, et un centre de symétrie si elle est sa propre image par le demi-tour autour de ce point. Exemple : le rectangle admet 2 axes (les médiatrices de ses côtés) et un centre (l’intersection de ses diagonales).

Définition 5 — frise, pavage, rosace. Une frise se construit en répétant un motif par glissements le long d’une bande, souvent combinés à des symétries ; un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement ; une rosace possède plusieurs axes de symétrie passant tous par son centre, et souvent un centre de symétrie. Exemple : dans une frise, un retournement du motif autour d’un point est un demi-tour, donc une symétrie centrale.

Propriétés

Propriété 1 — conservation des symétries. La symétrie axiale et la symétrie centrale conservent : les longueurs, les mesures d’angles, les aires, l’alignement, les milieux et le parallélisme. Une symétrie déplace une figure sans jamais la déformer : la figure image est superposable à la figure de départ. Exemple : un segment de 7 cm a pour image un segment de 7 cm ; un angle de $47^\circ$ a pour image un angle de $47^\circ$ .

Mêmes longueurs, mêmes angles, même aire : les deux triangles sont superposables.

Propriété 2 — images des figures usuelles. L’image d’un point est un point ; celle d’un segment est un segment de même longueur ; celle d’une droite est une droite ; celle d’un cercle est un cercle de même rayon ; celle d’un triangle est un triangle superposable. La différence entre les deux symétries : la symétrie axiale retourne la figure (sens de lecture inversé), la symétrie centrale non. Exemple : l’image d’un cercle de rayon 3 cm est un cercle de rayon 3 cm.

La symétrie axiale inverse le sens de lecture ; la symétrie centrale (figure précédente) le conserve.

Propriété 3 — symétrie centrale et parallélisme. Par une symétrie centrale, l’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle. C’est un outil de démonstration : pour prouver que deux droites sont parallèles, il suffit parfois de montrer que l’une est l’image de l’autre par une symétrie centrale. Exemple : si $A'$ et $B'$ sont les symétriques de $A$ et $B$ par rapport à $O$ , alors $(A'B') \parallel (AB)$ et $A'B' = AB$ .

Propriété 4 — points invariants. Pour la symétrie axiale d’axe $(d)$ , les points invariants sont exactement les points de l’axe ; pour la symétrie centrale de centre $O$ , le centre est le seul point invariant : tout autre point est envoyé de l’autre côté de $O$ , à la même distance. Exemple : par la symétrie de centre $O$ , l’image de $O$ est $O$ lui-même, et une droite passant par $O$ a pour image elle-même (elle est globalement invariante).

Propriété 5 — axes et centres des figures usuelles.

Figure	Axes de symétrie	Centre de symétrie
Rectangle non carré	2 (les médiatrices des côtés)	oui — intersection des diagonales
Losange non carré	2 (les diagonales)	oui
Carré	4	oui
Parallélogramme quelconque	0	oui
Triangle équilatéral	3	non

Le parallélogramme est le cas à retenir : un centre de symétrie sans aucun axe. Attention : les diagonales d’un rectangle ne sont pas des axes de symétrie, contrairement à celles du losange.

Méthodes

Méthode 1 — construire le symétrique d’un point par rapport à un axe.

Tracer la perpendiculaire à $(d)$ passant par $M$ .
Reporter au compas la distance de $M$ à $(d)$ , de l’autre côté de l’axe.
On obtient $M'$ : l’axe $(d)$ est la médiatrice de $[MM']$ (Définition 1).

Exemple résolu : $M$ est à 2,5 cm de l’axe ; $M'$ est à 2,5 cm de l’autre côté, donc $MM' = 5$ cm. Si $M$ appartient à $(d)$ , alors $M' = M$ : les points de l’axe sont invariants (Propriété 4).

Méthode 2 — construire le symétrique d’un point par rapport à un point.

Tracer la demi-droite $[MO)$ .
Reporter au compas la longueur $MO$ au-delà de $O$ .
On obtient $M'$ : $O$ est le milieu de $[MM']$ (Définition 2).

Exemple résolu : si $MO = 4$ cm, alors $OM' = 4$ cm et $MM' = 8$ cm. Réciproquement, si $AA' = 10$ cm, alors $OA = 10 \div 2 = 5$ cm.

Méthode 3 — construire l’image d’une figure.

Construire le symétrique de chaque sommet (Méthode 1 ou 2).
Relier les images dans le même ordre que les sommets de départ.
Contrôler avec la Propriété 1 : mêmes longueurs, mêmes angles — la figure image doit être superposable.

Exemple : pour un triangle $ABC$ , on construit $A'$ , $B'$ , $C'$ , puis le triangle $A'B'C'$ ; pour un cercle, on construit l’image du centre et on garde le même rayon (Propriété 2).

Méthode 4 — démontrer avec une symétrie. On rédige en trois temps, comme toute démonstration.

Données : identifier les points et leurs images.
Propriété : conservation (Propriété 1) ou parallélisme (Propriété 3).
Conclusion : égalité de longueurs, d’angles, ou parallélisme — sans rien mesurer.

Exemple résolu — Données : $A'$ et $B'$ sont les images de $A$ et $B$ par la symétrie de centre $O$ . Propriété : une symétrie centrale conserve les longueurs et transforme une droite en une droite parallèle. Conclusion : $A'B' = AB$ et $(A'B') \parallel (AB)$ .

Méthode 5 — trouver les axes et le centre de symétrie d’une figure.

Pour un axe : chercher un pliage qui superpose la figure à elle-même (Définition 4) ; tester les médiatrices des côtés et les diagonales.
Pour un centre : chercher si un demi-tour autour d’un point laisse la figure inchangée.
Dans une frise ou un pavage, identifier les symétries qui envoient un motif sur le suivant.

Exemple résolu : une portion de frise contient 6 motifs identiques d’aire $3\ \text{cm}^2$ ; comme les symétries conservent les aires (Propriété 1), l’aire totale vaut $6 \times 3 = 18\ \text{cm}^2$ , sans tout mesurer.

Pièges classiques

Une figure peut avoir un centre de symétrie sans avoir d’axe. Le parallélogramme quelconque en est l’exemple type (Propriété 5) : un demi-tour autour du point d’intersection de ses diagonales le laisse inchangé, mais aucun pliage ne le superpose à lui-même. Symétrie centrale et symétrie axiale sont deux transformations indépendantes : posséder l’une n’implique jamais de posséder l’autre.
Ne pas confondre le rôle de l’axe et celui du centre. L’axe est la médiatrice de $[MM']$ (Définition 1) ; le centre est le milieu de $[MM']$ (Définition 2). C’est cette ligne qu’il faut connaître : elle donne à la fois la construction et la démonstration.
Le sens de lecture. La symétrie axiale inverse le sens de lecture (comme un miroir), la symétrie centrale le conserve (Propriété 2) : un demi-tour ne « retourne » pas la figure comme un pliage.

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Propriétés

Méthodes

Pièges classiques

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