Quiz — PGCD et théorème de Bézout

Question 1 : Que vaut $\text{PGCD}(252, 105)$ ?

• $7$
• ✓ $21$
• $3$
• $63$

Explication : On applique la **Méthode 1 — calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide**, fondée sur le **Théorème 2 (lemme d'Euclide)** : $252 = 2 \times 105 + 42$, $105 = 2 \times 42 + 21$, $42 = 2 \times 21 + 0$. Le PGCD est le dernier reste non nul : $21$, option B. Vérification : $252 = 21 \times 12$ et $105 = 21 \times 5$, avec 12 et 5 premiers entre eux (**Théorème 4**, corollaire).

Question 2 : Quel couple $(u, v)$ vérifie $35u + 12v = 1$ ?

• $(1, -3)$
• $(3, -1)$
• ✓ $(-1, 3)$
• $(2, -6)$

Explication : On applique la **Méthode 2 — trouver un couple de Bézout** : l'algorithme d'Euclide donne $35 = 2 \times 12 + 11$ puis $12 = 11 + 1$, et on remonte : $1 = 12 - 11 = 12 - (35 - 2 \times 12) = 3 \times 12 - 35$, soit $35 \times (-1) + 12 \times 3 = 1$ : option C. Un tel couple existe car $\text{PGCD}(35, 12) = 1$ (**Théorème 4 (théorème de Bézout)**). Contrôle direct : les autres couples donnent $-1$, $93$ et $-2$.

Question 3 : Soit $a, b$ deux entiers non nuls. « $a$ et $b$ sont premiers entre eux » équivaut à :

• ✓ Il existe des entiers $u, v$ tels que $au + bv = 1$
• $a$ et $b$ sont des nombres premiers
• $a$ ne divise pas $b$
• $a$ et $b$ sont tous les deux impairs

Explication : C'est exactement l'énoncé du **Théorème 4 (théorème de Bézout)** : $\text{PGCD}(a, b) = 1 \iff \exists (u, v) \in \mathbb{Z}^2, au + bv = 1$ : option A. Les autres propositions sont fausses : $8$ et $9$ sont premiers entre eux (**Définition 2**) sans être premiers ; $4$ ne divise pas $6$ mais $\text{PGCD}(4, 6) = 2$ ; $9$ et $15$ sont impairs et $\text{PGCD}(9, 15) = 3$.

Question 4 : Combien l'équation $6x + 9y = 5$ admet-elle de solutions $(x, y) \in \mathbb{Z}^2$ ?

• Une seule
• Trois
• Une infinité
• ✓ Aucune

Explication : D'après le **Théorème 6 (équation diophantienne $ax + by = c$)**, l'équation a des solutions si et seulement si $\text{PGCD}(a, b) \mid c$. Ici $\text{PGCD}(6, 9) = 3$ divise $6x + 9y$ pour tous entiers $x, y$ (combinaison linéaire), mais $3 \nmid 5$ : aucune solution, option D. Quand le PGCD divise $c$, il y a au contraire une infinité de solutions.

Question 5 : Quelles sont les solutions dans $\mathbb{Z}^2$ de $5x - 3y = 1$ ?

• ✓ $x = 2 + 3k$, $y = 3 + 5k$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• $x = 2 + 5k$, $y = 3 + 3k$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• $x = 2 - 3k$, $y = 3 + 5k$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• $x = 2 + 3k$, $y = 3 - 5k$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Explication : On applique la **Méthode 4 — résoudre une équation diophantienne** : $(2, 3)$ est une solution particulière ($10 - 9 = 1$). Par différence, $5(x - 2) = 3(y - 3)$ ; comme $3 \mid 5(x - 2)$ et $\text{PGCD}(3, 5) = 1$, le **Théorème 5 (théorème de Gauss)** donne $3 \mid x - 2$, soit $x = 2 + 3k$, puis $y = 3 + 5k$ : option A. Vérification (étape 4 de la méthode) : $5(2 + 3k) - 3(3 + 5k) = 10 + 15k - 9 - 15k = 1$. La deuxième formule donnerait $1 + 16k$.

Question 6 : Soit $n$ un entier tel que $7$ divise $3n$. Que peut-on en déduire ?

• $7$ divise $3$
• $n = 7$
• C'est impossible
• ✓ $7$ divise $n$

Explication : $7 \mid 3n$ et $\text{PGCD}(7, 3) = 1$, donc le **Théorème 5 (théorème de Gauss)** donne $7 \mid n$ : option D. Attention : cela ne force pas $n = 7$, toutes les valeurs $n = 7k$ conviennent ($n = 0, 7, -14, \ldots$). L'hypothèse « premiers entre eux » est indispensable : $6 \mid 2 \times 3$ sans que 6 divise 2 ou 3.

Question 7 : Soit $a, b$ deux entiers naturels tels que $\text{PGCD}(a, b) = 6$. Que vaut $\text{PGCD}\left(\dfrac a6, \dfrac b6\right)$ ?

• $6$
• ✓ $1$
• $36$
• Cela dépend de $a$ et $b$

Explication : D'après le **Théorème 3 (identité de Bézout)**, il existe $u, v$ avec $au + bv = 6$. En divisant par 6 : $\dfrac a6 u + \dfrac b6 v = 1$, donc d'après le **Théorème 4 (théorème de Bézout)**, $\dfrac a6$ et $\dfrac b6$ sont premiers entre eux : option B. C'est le corollaire général : diviser deux entiers par leur PGCD donne deux entiers premiers entre eux, ce qui sert à rendre une fraction irréductible (**Méthode 3**).

Question 8 : Pour tout entier naturel $n$, que vaut $\text{PGCD}(n, n + 1)$ ?

• $n$
• $2$
• ✓ $1$
• Cela dépend de la parité de $n$

Explication : On applique la **Méthode 3 — montrer que deux entiers sont premiers entre eux** : $(n + 1) \times 1 + n \times (-1) = 1$ est une relation de Bézout, donc d'après le **Théorème 4 (théorème de Bézout)**, $\text{PGCD}(n, n + 1) = 1$ : option C. Autre argument : un diviseur commun de $n$ et $n + 1$ divise leur différence 1 (combinaison linéaire).

Question 9 : Le tableau donne les divisions successives de l'algorithme d'Euclide appliqué à $1071$ et $462$. Que vaut $\text{PGCD}(1071, 462)$ ?

• $147$
• $7$
• $3$
• ✓ $21$

Explication : D'après la **Méthode 1 — calculer un PGCD par l'algorithme d'Euclide** (justifiée par le **Théorème 2 (lemme d'Euclide)**), le PGCD est le **dernier reste non nul** : ici 21 (ligne $462 = 3 \times 147 + 21$, puis $147 = 7 \times 21 + 0$) : option D. On a bien $1071 = 21 \times 51$ et $462 = 21 \times 22$. Attention : le quotient 7 de la dernière ligne n'est pas le PGCD.

Question 10 : Question type bac. Combien y a-t-il de couples $(x, y)$ d'entiers naturels tels que $\text{PGCD}(x, y) = 6$ et $x + y = 60$ ?

• ✓ $4$
• $2$
• $5$
• $9$

Explication : On applique la **Méthode 5 — poser $x = dx'$, $y = dy'$** : $x = 6x'$ et $y = 6y'$ avec $x'$ et $y'$ premiers entre eux (**Théorème 4**, corollaire), d'où $x' + y' = 10$. Les couples $(x', y')$ de somme 10 avec $\text{PGCD}(x', y') = 1$ sont $(1, 9), (3, 7), (7, 3), (9, 1)$ — on exclut $(2, 8), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (8, 2)$, de PGCD 2 ou 5. D'où 4 couples : $(6, 54), (18, 42), (42, 18), (54, 6)$ : option A.