Quiz — Divisibilité dans ℤ

Question 1 : Quel est le reste de la division euclidienne de $-17$ par $5$ ?

• $-2$
• ✓ $3$
• $2$
• $-3$

Explication : D'après le **Théorème 2 (division euclidienne)**, le reste doit vérifier $0 \leq r < 5$, même quand le dividende est négatif. Le plus grand multiple de 5 inférieur ou égal à $-17$ est $-20 = 5 \times (-4)$, donc $-17 = 5 \times (-4) + 3$ : quotient $-4$, reste $3$, option B. L'écriture $-17 = 5 \times (-3) - 2$ est une égalité vraie, mais $-2 < 0$ : ce n'est pas la division euclidienne.

Question 2 : Combien $36$ admet-il de diviseurs positifs ?

• $6$
• $8$
• ✓ $9$
• $10$

Explication : On applique la **Méthode 1 — déterminer les diviseurs d'un entier** : on teste $d$ de 1 à $\sqrt{36} = 6$ et chaque diviseur $d$ donne le diviseur associé $36/d$. On trouve $1, 2, 3, 4, 6$ puis $36, 18, 12, 9$ : les diviseurs positifs de 36 sont $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$, soit 9 diviseurs, option C. Le nombre est impair car $6 = \sqrt{36}$ est associé à lui-même ; avec $36 = 2^2 \times 3^2$ : $(2 + 1)(2 + 1) = 9$.

Question 3 : Soit $n$ un entier tel que $7 \mid 2n + 1$. Alors 7 divise nécessairement :

• ✓ $n + 4$
• $n + 1$
• $2n$
• $n + 3$

Explication : C'est la **Méthode 3 — transférer une divisibilité** : si $7 \mid 2n + 1$, alors $7 \mid 4(2n + 1) = 8n + 4$. Or $8n + 4 = 7n + (n + 4)$ et $7 \mid 7n$, donc d'après le **Théorème 1 (propriétés de la divisibilité)** (combinaison linéaire : $7 \mid (8n + 4) - 7n$), on obtient $7 \mid n + 4$ : option A. Exemple de contrôle : $n = 3$ donne $2n + 1 = 7$ et $n + 4 = 7$.

Question 4 : Combien y a-t-il d'entiers relatifs $n$ tels que $n + 3$ divise $2n + 1$ ?

• $2$
• $1$
• Une infinité
• ✓ $4$

Explication : On applique la **Méthode 2 — se ramener à un diviseur fixe** : $2n + 1 = 2(n + 3) - 5$, donc $n + 3 \mid 2n + 1 \iff n + 3 \mid 5$ d'après le **Théorème 1 (propriétés de la divisibilité)**. Les diviseurs de 5 dans $\mathbb{Z}$ sont $-5, -1, 1, 5$, ce qui donne $n \in \{-8, -4, -2, 2\}$ : quatre valeurs, option D. Le piège classique est d'oublier les diviseurs négatifs et de ne trouver que 2 valeurs.

Question 5 : Quels sont le quotient $q$ et le reste $r$ de la division euclidienne de $2024$ par $7$ ?

• $q = 288$, $r = 8$
• ✓ $q = 289$, $r = 1$
• $q = 289$, $r = -1$
• $q = 290$, $r = 6$

Explication : D'après le **Théorème 2 (division euclidienne)**, il faut $2024 = 7q + r$ **et** $0 \leq r < 7$. Or $7 \times 289 = 2023$, donc $2024 = 7 \times 289 + 1$ avec $0 \leq 1 < 7$ : option B. La proposition $q = 288$, $r = 8$ vérifie bien $7 \times 288 + 8 = 2024$, mais $r = 8 \geq 7$ : ce n'est pas la division euclidienne (c'est l'unicité du Théorème 2 qui l'exclut). Pour $q = 290$, on aurait $r = 2024 - 2030 = -6 < 0$.

Question 6 : Laquelle de ces affirmations est vraie pour tous entiers $a, b, c$ (avec $a \neq 0$) ?

• $a \mid bc \Rightarrow a \mid b$ ou $a \mid c$
• $a \mid b \Rightarrow a \leq b$
• ✓ $a \mid b$ et $a \mid c \Rightarrow a \mid (b - c)$
• $a \mid b^2 \Rightarrow a \mid b$

Explication : C'est la propriété de **combinaison linéaire** du **Théorème 1 (propriétés de la divisibilité)** : si $b = ka$ et $c = k'a$, alors $b - c = (k - k')a$, donc $a \mid (b - c)$ : option C. Contre-exemples pour les autres : $6 \mid 2 \times 3$ mais $6 \nmid 2$ et $6 \nmid 3$ ; $3 \mid -6$ mais $3 > -6$ ; $4 \mid 6^2 = 36$ mais $4 \nmid 6$. La première affirmation ne devient vraie que si $a$ est premier (théorème de Gauss, chapitre PGCD).

Question 7 : Le tableau donne les valeurs de $n(n + 1)(n + 2)$ pour $n = 1$ à $5$. Pour tout entier naturel $n$, ce produit est divisible par :

• $4$
• ✓ $6$
• $9$
• $12$

Explication : D'après le **Théorème 4 (entiers consécutifs)**, parmi trois entiers consécutifs, l'un est multiple de 3 et au moins l'un est pair : le produit est donc divisible par $2 \times 3 = 6$, option B. Le tableau permet d'éliminer les autres réponses : la valeur $6$ (pour $n = 1$) n'est divisible ni par 4, ni par 9, ni par 12. Un seul contre-exemple suffit à exclure une divisibilité « pour tout $n$ ».

Question 8 : Soit $k$ un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de $(2k + 1)^2$ par $8$ ?

• ✓ $1$
• $3$
• $5$
• Cela dépend de $k$

Explication : On applique la **Méthode 4 — raisonner par disjonction de cas (parité)** : $(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) + 1$. D'après le **Théorème 4 (entiers consécutifs)**, $k(k + 1)$ est pair : $k(k + 1) = 2m$, donc $(2k + 1)^2 = 8m + 1$. Comme $0 \leq 1 < 8$, le **Théorème 2 (division euclidienne)** assure que le reste est 1 quel que soit $k$ : option A. Le carré d'un entier impair est toujours congru à 1 modulo 8.

Question 9 : Question type bac. Pour $n \geq 4$, quel est le reste de la division euclidienne de $3n + 7$ par $n + 1$ ?

• $7$
• $3$
• $10$
• ✓ $4$

Explication : Comme dans la **Méthode 2 — se ramener à un diviseur fixe**, on fait apparaître $n + 1$ : $3n + 7 = 3(n + 1) + 4$. D'après le **Théorème 2 (division euclidienne)**, cette écriture est la division euclidienne si et seulement si $0 \leq 4 < n + 1$, c'est-à-dire $n \geq 4$, ce qui est l'hypothèse : quotient 3, reste 4, option D. Pour $n = 2$ par exemple, $13 = 3 \times 3 + 4$ n'est pas une division euclidienne par 3 et il faut recommencer : $13 = 4 \times 3 + 1$.

Question 10 : Combien $24$ et $36$ ont-ils de diviseurs communs positifs ?

• $4$
• $5$
• ✓ $6$
• $12$

Explication : On applique la **Méthode 1 — déterminer les diviseurs d'un entier** à chacun des deux nombres. Diviseurs de 24 : $1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24$ ; de 36 : $1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36$. Les diviseurs communs sont $1, 2, 3, 4, 6, 12$ : il y en a 6, option C. Ce sont exactement les diviseurs du plus grand d'entre eux, $12 = \text{PGCD}(24, 36)$ (voir le chapitre PGCD).