Quiz — Loi des grands nombres

Question 1 : $X$ a pour espérance $10$ et pour variance $4$. Que permet d'affirmer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $P(|X - 10| \geq 4)$ ?

• $P(|X - 10| \geq 4) = 0{,}25$
• ✓ $P(|X - 10| \geq 4) \leq 0{,}25$
• $P(|X - 10| \geq 4) \leq 1$
• $P(|X - 10| \geq 4) \geq 0{,}25$

Explication : **Méthode 1 (appliquer Bienaymé-Tchebychev)** : on identifie $\mu = 10$, $V = 4$ et $\delta = 4$. Par le **Théorème 1**, $P(|X - 10| \geq 4) \leq \dfrac{V}{\delta^2} = \dfrac{4}{16} = 0{,}25$ : option B. L'inégalité fournit un majorant, jamais une valeur exacte ni un minorant : la probabilité réelle peut être bien plus petite.

Question 2 : Avec les mêmes données ($\mu = 10$, $V = 4$), que peut-on dire de $P(6 < X < 14)$ ?

• ✓ Elle est supérieure ou égale à $0{,}75$
• Elle est inférieure ou égale à $0{,}25$
• Elle vaut exactement $0{,}75$
• Elle est inférieure ou égale à $0{,}75$

Explication : **Méthode 1**, avec passage à l'événement contraire : $\{6 < X < 14\} = \{|X - 10| < 4\}$ est le contraire de $\{|X - 10| \geq 4\}$. Par le **Théorème 1** sous sa forme équivalente, $P(|X - 10| < 4) \geq 1 - \dfrac{4}{16} = 0{,}75$ : option A. On obtient un minorant pour l'intervalle centré en $\mu$, pas une valeur exacte.

Question 3 : Pour une variable aléatoire quelconque d'écart-type $\sigma$, que donne l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $P(|X - \mu| \geq 2\sigma)$ ?

• $\leq 0{,}05$
• $\leq \dfrac12$
• ✓ $\leq \dfrac14$
• $\leq 2$

Explication : Par le **Théorème 2** (écarts mesurés en écarts-types), avec $k = 2$ : $P(|X - \mu| \geq 2\sigma) \leq \dfrac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} = \dfrac14$ : option C. La valeur $0{,}05$ est souvent observée par simulation, mais l'inégalité, valable pour toutes les lois, ne garantit que $\tfrac14$ (**Méthode 4**) : universelle, elle est loin d'être optimale.

Question 4 : $M_n$ est la moyenne d'un échantillon de taille $100$ d'une variable d'espérance $\mu$ et de variance $1$. Que donne l'inégalité de concentration pour $P(|M_{100} - \mu| \geq 0{,}5)$ ?

• $\leq 4$
• $\leq 0{,}5$
• $\leq 0{,}25$
• ✓ $\leq 0{,}04$

Explication : **Méthode 2 (appliquer l'inégalité de concentration)** : $M_{100}$ est la moyenne d'un échantillon (**Définition 1**) avec $V = 1$, $n = 100$ et $\delta = 0{,}5$. Par le **Théorème 3**, $P(|M_{100} - \mu| \geq 0{,}5) \leq \dfrac{V}{n\delta^2} = \dfrac{1}{100 \times 0{,}25} = 0{,}04$ : option D. Le majorant est celui de Bienaymé-Tchebychev pour $X$, divisé par $n$.

Question 5 : Une variable a pour variance $1$. Quelle taille d'échantillon $n$ suffit, d'après l'inégalité de concentration, pour que $P(|M_n - \mu| \geq 0{,}1) \leq 0{,}05$ ?

• $n = 200$
• ✓ $n = 2\,000$
• $n = 20$
• $n = 20\,000$

Explication : **Méthode 3 (déterminer une taille d'échantillon)** : on veut un risque $\alpha = 0{,}05$ pour une précision $\delta = 0{,}1$. Par le **Théorème 3**, il suffit que $\dfrac{V}{n\delta^2} \leq \alpha$, soit $n \geq \dfrac{V}{\alpha\delta^2} = \dfrac{1}{0{,}05 \times 0{,}01} = 2\,000$ : option B. C'est un raisonnement par condition suffisante : une taille plus petite pourrait convenir en pratique.

Question 6 : $F_n$ est la fréquence de succès dans un échantillon de taille $n = 1\,000$ d'une loi de Bernoulli de paramètre $p$ inconnu. Quel majorant obtient-on pour $P(|F_{1000} - p| \geq 0{,}05)$ ?

• ✓ $0{,}1$
• $0{,}05$
• $0{,}4$
• $0{,}01$

Explication : **Méthode 2**, cas d'une fréquence (**Définition 2**) : par le **Théorème 4**, $P(|F_n - p| \geq \delta) \leq \dfrac{p(1-p)}{n\delta^2} \leq \dfrac{1}{4n\delta^2}$ car $p(1-p) \leq \tfrac14$. Avec $n = 1\,000$ et $\delta = 0{,}05$ : $\dfrac{1}{4 \times 1000 \times 0{,}0025} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1$ : option A. Ce majorant est valable quel que soit $p$, même inconnu.

Question 7 : Quel énoncé traduit la loi des grands nombres pour la moyenne $M_n$ d'un échantillon d'une variable d'espérance $\mu$ ?

• $M_n = \mu$ dès que $n$ est assez grand
• $E(M_n)$ tend vers $\mu$ quand $n$ tend vers $+\infty$
• ✓ Pour tout $\delta > 0$, $P(|M_n - \mu| \geq \delta)$ tend vers $0$ quand $n$ tend vers $+\infty$
• $V(M_n)$ est nulle

Explication : C'est l'énoncé exact du **Théorème 5 (loi des grands nombres)** : pour tout $\delta > 0$, $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \to 0$ quand $n \to +\infty$ : option C. $M_n$ n'est jamais certainement égale à $\mu$, et $E(M_n) = \mu$ est vrai pour tout $n$ (**Définition 1**), donc « $E(M_n)$ tend vers $\mu$ » n'est pas la loi des grands nombres. C'est bien un énoncé de limite portant sur une probabilité.

Question 8 : Que garantit l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $P(|X - \mu| \geq 3\sigma)$ ?

• Une probabilité exactement égale à $\tfrac19$
• Une probabilité inférieure à $0{,}003$
• Une probabilité inférieure ou égale à $\tfrac13$
• ✓ Une probabilité inférieure ou égale à $\tfrac19$

Explication : Par le **Théorème 2** avec $k = 3$ : $P(|X - \mu| \geq 3\sigma) \leq \dfrac{\sigma^2}{(3\sigma)^2} = \dfrac19$ : option D. Pour beaucoup de lois, la probabilité réelle est bien plus faible (de l'ordre de $0{,}003$), mais l'inégalité, universelle, ne garantit que $\tfrac19$ et ne donne jamais de valeur exacte (**Méthode 4**).

Question 9 : Que peut-on déduire de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour $P(|X - \mu| \geq \tfrac{\sigma}{2})$ ?

• Cette probabilité est inférieure à $\tfrac14$
• ✓ Rien d'utile : le majorant $4$ est supérieur à $1$
• Cette probabilité vaut $4$
• Cette probabilité est supérieure à $\tfrac14$

Explication : **Méthode 4 (juger la pertinence du majorant)** : pour $\delta = \tfrac{\sigma}{2}$, le **Théorème 1** donne le majorant $\dfrac{\sigma^2}{(\sigma/2)^2} = 4$. Une probabilité étant toujours au plus $1$, cette majoration n'apporte aucune information : option B. L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev n'est utile que pour $\delta > \sigma$, c'est-à-dire pour des écarts dépassant l'écart-type.

Question 10 : On simule $N = 1\,000$ échantillons de taille $n = 400$ d'une variable d'écart-type $\sigma = 2$ et on calcule l'écart-type $s$ de la série des 1000 moyennes obtenues. Quelle valeur de $s$ attend-on ?

• ✓ $s \approx 0{,}1$
• $s \approx 2$
• $s \approx 0{,}005$
• $s \approx 40$

Explication : **Méthode 5 (simuler des échantillons)** : l'écart-type observé $s$ de la série des moyennes approche l'écart-type théorique de $M_n$. Par la **Définition 1**, $\sigma(M_n) = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{2}{\sqrt{400}} = \dfrac{2}{20} = 0{,}1$ : option A. C'est l'illustration expérimentale du facteur $\tfrac{1}{\sqrt{n}}$ qui fonde la loi des grands nombres (**Théorème 5**).