Quiz — Dénombrement, combinatoire

Question 1 : Un restaurant propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts. Combien de menus « entrée + plat + dessert » différents peut-on composer ?

• $9$
• ✓ $24$
• $12$
• $3^4 \times 2$

Explication : **Méthode 1 (choisir le bon modèle de dénombrement)** : un menu est un triplet (entrée, plat, dessert), élément du produit cartésien $E \times P \times D$ (**Définition 1**). D'après le **Théorème 2 (principe multiplicatif)**, le nombre de triplets est le produit des cardinaux : $3 \times 4 \times 2 = 24$ menus. Additionner ($3 + 4 + 2 = 9$) serait une erreur : on n'est pas face à une réunion de cas disjoints mais à des choix successifs. C'est l'option B.

Question 2 : Combien y a-t-il de codes à 4 chiffres (de 0 à 9) dont les chiffres sont tous distincts ?

• $10^4 = 10\,000$
• $\binom{10}{4} = 210$
• $4! = 24$
• ✓ $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040$

Explication : **Méthode 1** : l'ordre des chiffres compte (c'est un code) et les répétitions sont interdites : un code est un 4-uplet d'éléments distincts de $\{0,\ldots,9\}$. D'après le **Théorème 5**, il y en a $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5\,040$ : 10 choix pour le premier chiffre, puis 9, 8 et 7. La réponse $10^4$ (**Théorème 3**) autoriserait les répétitions, et $\binom{10}{4}$ (**Théorème 7**) compterait les ensembles de 4 chiffres sans tenir compte de l'ordre. C'est l'option D.

Question 3 : Combien de mots de longueur 5 (pas forcément prononçables) peut-on écrire avec l'alphabet $\{a, b\}$ ?

• $10$
• $25$
• ✓ $32$
• $120$

Explication : **Méthode 1** : un mot de longueur 5 est une suite ordonnée de 5 lettres avec répétitions possibles, c'est-à-dire un 5-uplet de $\{a, b\}$ (**Définition 1**). D'après le **Théorème 3**, il y en a $n^k = 2^5 = 32$ : à chaque position, 2 choix indépendants. D'après le **Théorème 4**, c'est aussi le nombre de parties d'un ensemble à 5 éléments. C'est l'option C.

Question 4 : Combien d'anagrammes (suites ordonnées de toutes les lettres) possède le mot MATHS ?

• ✓ $120$
• $25$
• $5$
• $3\,125$

Explication : Les 5 lettres de MATHS sont toutes distinctes : une anagramme est une permutation d'un ensemble à 5 éléments (**Définition 3**). D'après le **Théorème 6**, le nombre de permutations est $5!$, et la **Définition 2** donne $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$. C'est aussi le cas particulier $k = n$ de la **Méthode 1** : tous les éléments, ordonnés. C'est l'option A.

Question 5 : Dans une classe de 12 élèves, on choisit 3 délégués sans distinction de rôle. Combien de choix sont possibles ?

• $12 \times 11 \times 10 = 1\,320$
• ✓ $\binom{12}{3} = 220$
• $12^3 = 1\,728$
• $3! = 6$

Explication : **Méthode 1** : sans distinction de rôle, l'ordre ne compte pas : un choix de délégués est une partie à 3 éléments de l'ensemble des 12 élèves, c'est-à-dire une combinaison (**Définition 4**). D'après le **Théorème 7** : $\binom{12}{3} = \dfrac{12 \times 11 \times 10}{3!} = 220$. Le nombre $1\,320 = 12 \times 11 \times 10$ (**Théorème 5**) compte les triplets ordonnés : chaque groupe de 3 élèves y est compté $3! = 6$ fois. C'est l'option B.

Question 6 : Que vaut $\binom{10}{8}$ ?

• $80$
• $90$
• ✓ $45$
• $10$

Explication : **Méthode 3 (calculer un coefficient binomial)** : comme $k = 8$ est proche de $n = 10$, on commence par la symétrie du **Théorème 8** : $\binom{10}{8} = \binom{10}{10-8} = \binom{10}{2}$. Puis, d'après la valeur particulière $\binom{n}{2} = \dfrac{n(n-1)}{2}$ du **Théorème 8** : $\binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$. C'est l'option C.

Question 7 : On lit dans le triangle de Pascal $\binom{6}{2} = 15$ et $\binom{6}{3} = 20$. Que vaut $\binom{7}{3}$ ?

• ✓ $35$
• $30$
• $300$
• $21$

Explication : **Méthode 3 (calculer un coefficient binomial)**, ici de proche en proche dans le triangle : d'après le **Théorème 9 (relation de Pascal)**, $\binom{7}{3} = \binom{6}{2} + \binom{6}{3} = 15 + 20 = 35$. Chaque coefficient du triangle est la somme des deux coefficients situés au-dessus de lui. C'est l'option A.

Question 8 : Combien de parties possède un ensemble à 6 éléments (y compris l'ensemble vide et l'ensemble lui-même) ?

• $36$
• $720$
• $63$
• ✓ $64$

Explication : **Méthode 4 (dénombrer les parties par codage binaire)** : chaque partie correspond à un mot de longueur 6 sur $\{0, 1\}$ qui indique, élément par élément, s'il est pris ou non. D'après le **Théorème 4**, il y a $2^6 = 64$ parties. On retrouve ce total avec le **Théorème 10** : $\sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} = 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64$. La réponse $63$ oublie l'ensemble vide. C'est l'option D.

Question 9 : Une urne contient 5 boules rouges et 4 boules bleues, toutes distinguables. On tire simultanément 3 boules. Combien de tirages contiennent exactement 2 boules rouges ?

• $\binom{5}{2} + \binom{4}{1} = 14$
• $5 \times 4 \times 4 = 80$
• ✓ $\binom{5}{2} \times \binom{4}{1} = 40$
• $\binom{9}{3} = 84$

Explication : **Méthode 2 (dénombrer avec contraintes)** : un tirage simultané est une partie à 3 éléments (**Définition 4**), sans ordre. On le construit par choix successifs : 2 rouges parmi 5, soit $\binom{5}{2} = 10$ façons (**Théorème 7**), puis 1 bleue parmi 4, soit 4 façons. D'après le **Théorème 2 (principe multiplicatif)**, cela donne $10 \times 4 = 40$ tirages. Le nombre $\binom{9}{3} = 84$ est le total des tirages possibles : il servirait à calculer la probabilité $\frac{40}{84}$. C'est l'option C.

Question 10 : Lors d'un tournoi, chacun des 10 joueurs affronte une fois chacun des autres. Combien de matchs sont joués ?

• $100$
• $90$
• ✓ $45$
• $20$

Explication : **Méthode 1** : un match est une paire **non ordonnée** de joueurs, c'est-à-dire une partie à 2 éléments de l'ensemble des 10 joueurs (**Définition 4**). D'après le **Théorème 8** (valeur particulière $\binom{n}{2}$) : $\binom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45$ matchs. Le calcul $10 \times 9 = 90$ (**Théorème 5**) compte les couples ordonnés, donc chaque match deux fois. C'est l'option C.