Quiz — Probabilités conditionnelles

Question 1 : Dans une classe de $30$ élèves, $18$ sont des filles et $12$ des filles font du sport. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il fasse du sport sachant que c'est une fille ?

• $\dfrac{12}{30}$
• ✓ $\dfrac{12}{18}$
• $\dfrac{18}{30}$
• $\dfrac{6}{18}$

Explication : On se restreint aux $18$ filles, parmi lesquelles $12$ font du sport : $P_F(S) = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$. L'option $\frac{12}{30}$ est $P(F \cap S)$.

Question 2 : On sait que $P(B) = 0{,}4$ et $P_B(A) = 0{,}25$. Que vaut $P(A \cap B)$ ?

• $0{,}65$
• $0{,}625$
• ✓ $0{,}1$
• $0{,}15$

Explication : $P(A \cap B) = P(B) \times P_B(A) = 0{,}4 \times 0{,}25 = 0{,}1$.

Question 3 : L'arbre ci-dessous décrit deux tirages successifs sans remise dans une urne. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement une boule rouge ?

• $\dfrac{4}{15}$
• $\dfrac{2}{15}$
• ✓ $\dfrac{8}{15}$
• $\dfrac{7}{15}$

Explication : Deux chemins : R puis B ($\frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{4}{15}$) et B puis R ($\frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{15}$). Total : $\frac{8}{15}$.

Question 4 : Une usine a deux machines : $M_1$ produit $70\,\%$ des pièces avec $3\,\%$ de défauts, $M_2$ produit $30\,\%$ des pièces avec $8\,\%$ de défauts. Quelle est la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse ?

• ✓ $0{,}045$
• $0{,}11$
• $0{,}055$
• $0{,}021$

Explication : Probabilités totales : $P(D) = 0{,}7 \times 0{,}03 + 0{,}3 \times 0{,}08 = 0{,}021 + 0{,}024 = 0{,}045$.

Question 5 : Avec les données précédentes ($P(D) = 0{,}045$), quelle est la probabilité qu'une pièce défectueuse provienne de $M_2$ ?

• $0{,}08$
• $0{,}3$
• $0{,}024$
• ✓ $\dfrac{0{,}024}{0{,}045} \approx 0{,}53$

Explication : $P_D(M_2) = \dfrac{P(M_2 \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0{,}3 \times 0{,}08}{0{,}045} = \dfrac{0{,}024}{0{,}045} \approx 0{,}53$. On « remonte » l'arbre avec la définition de la probabilité conditionnelle.

Question 6 : On lance un dé équilibré. $A$ = « obtenir un nombre pair », $B$ = « obtenir un multiple de $3$ ». Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

• Non, car $A \cap B \neq \varnothing$
• ✓ Oui, car $P(A \cap B) = \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}$
• Non, car $P(A) \neq P(B)$
• Oui, car ils sont incompatibles

Explication : $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$, $P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$, $A \cap B = \{6\}$ donc $P(A \cap B) = \frac{1}{6} = P(A)P(B)$ : indépendants.

Question 7 : Le tableau donne la répartition de $200$ personnes selon leur âge et leur réponse à un sondage. Quelle est la probabilité qu'une personne ait répondu « oui » sachant qu'elle a moins de $30$ ans ?

• $\dfrac{50}{200}$
• $\dfrac{50}{110}$
• ✓ $\dfrac{50}{80}$
• $\dfrac{80}{200}$

Explication : Parmi les $80$ personnes de moins de $30$ ans, $50$ ont répondu oui : $P_{<30}(\text{oui}) = \dfrac{50}{80} = 0{,}625$.

Question 8 : On lance trois fois de suite une pièce truquée pour laquelle « pile » a une probabilité $0{,}6$. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux piles ?

• $0{,}36$
• $0{,}216$
• $0{,}144$
• ✓ $0{,}432$

Explication : Trois chemins (PPF, PFP, FPP), chacun de probabilité $0{,}6^2 \times 0{,}4 = 0{,}144$. Total : $3 \times 0{,}144 = 0{,}432$.

Question 9 : Soit $A$ et $B$ deux événements indépendants avec $P(A) = 0{,}5$ et $P(B) = 0{,}2$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?

• $0{,}7$
• ✓ $0{,}6$
• $0{,}1$
• $0{,}8$

Explication : $P(A \cap B) = 0{,}5 \times 0{,}2 = 0{,}1$ (indépendance), puis $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}2 - 0{,}1 = 0{,}6$. Piège : $0{,}7$ oublie l'intersection.

Question 10 : Sachant que $P(A) = 0{,}3$, $P_A(B) = 0{,}5$ et $P_{\bar{A}}(B) = 0{,}2$, que vaut $P(B)$ ?

• ✓ $0{,}29$
• $0{,}7$
• $0{,}35$
• $0{,}15$

Explication : $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B) = 0{,}3 \times 0{,}5 + 0{,}7 \times 0{,}2 = 0{,}15 + 0{,}14 = 0{,}29$.