Quiz — Nombres premiers

Question 1 : Parmi les entiers $91$, $97$, $51$ et $57$, lequel est premier ?

• $91$
• ✓ $97$
• $51$
• $57$

Explication : **Méthode 1 — tester la primalité d'un entier** : d'après le **Théorème 2 (critère de primalité)**, il suffit de tester les diviseurs premiers $p \leq \sqrt{97} < 10$, soit $2, 3, 5, 7$ ; aucun ne divise $97$, qui est donc premier : option B. Les trois autres sont composés : $91 = 7 \times 13$, $51 = 3 \times 17$, $57 = 3 \times 19$.

Question 2 : Pour prouver que $199$ est premier, combien de divisions par des nombres premiers suffisent ?

• ✓ $6$
• $14$
• $199$
• $13$

Explication : D'après le **Théorème 2 (critère de primalité)**, il suffit de tester les premiers $p \leq \sqrt{199} \approx 14{,}1$, c'est-à-dire $2, 3, 5, 7, 11, 13$ : six divisions, option A. C'est exactement la **Méthode 1 — tester la primalité d'un entier**. Aucune division ne tombe juste ($199 = 13 \times 15 + 4$, etc.), donc 199 est premier.

Question 3 : Quelle est la décomposition en facteurs premiers de $360$ ?

• $2^2 \times 3^2 \times 10$
• $2^3 \times 3 \times 15$
• ✓ $2^3 \times 3^2 \times 5$
• $2^4 \times 3 \times 5$

Explication : **Méthode 3 — décomposer un entier en facteurs premiers** : $360 = 2 \times 180 = 2^2 \times 90 = 2^3 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ : option C. Les propositions avec $10$ ou $15$ ne sont pas des produits de facteurs **premiers** (voir la **Définition 2 — décomposition en facteurs premiers**), et $2^4 \times 3 \times 5 = 240 \neq 360$. D'après le **Théorème 5 (théorème fondamental de l'arithmétique)**, cette écriture est unique.

Question 4 : Combien $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ admet-il de diviseurs positifs ?

• $12$
• $18$
• $30$
• ✓ $24$

Explication : **Méthode 4 — compter les diviseurs et calculer un PGCD** : d'après le **Théorème 6 (diviseurs et PGCD)**, un diviseur de $360$ s'écrit $2^a 3^b 5^c$ avec $0 \leq a \leq 3$, $0 \leq b \leq 2$, $0 \leq c \leq 1$, soit $(3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24$ diviseurs : option D. L'unicité de la décomposition (**Théorème 5 (théorème fondamental de l'arithmétique)**) garantit qu'ils sont tous distincts.

Question 5 : Sachant que $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ et $84 = 2^2 \times 3 \times 7$, que vaut $\text{PGCD}(360, 84)$ ?

• $4$
• ✓ $12$
• $6$
• $24$

Explication : **Méthode 4 — compter les diviseurs et calculer un PGCD** : d'après le **Théorème 6 (diviseurs et PGCD)**, on prend chaque facteur premier commun avec le plus petit exposant : $\text{PGCD} = 2^{\min(3, 2)} \times 3^{\min(2, 1)} = 2^2 \times 3 = 12$ : option B. Les facteurs $5$ et $7$ ne sont pas communs. Vérification par l'algorithme d'Euclide : $360 = 4 \times 84 + 24$, $84 = 3 \times 24 + 12$, $24 = 2 \times 12$.

Question 6 : Dans la démonstration d'Euclide de l'infinité des nombres premiers, on suppose qu'il n'y a qu'un nombre fini de premiers $p_1, \ldots, p_k$ et on pose $N = p_1 p_2 \cdots p_k + 1$. Quelle affirmation est correcte ?

• $N$ est toujours premier
• $N$ est pair
• $N$ est divisible par $p_k$
• ✓ Aucun des $p_i$ ne divise $N$

Explication : C'est la démonstration (exigible) du **Théorème 3 (infinité des nombres premiers)** : la division de $N$ par $p_i$ a pour reste $1$, donc aucun $p_i$ ne divise $N$ : option D. Comme $N \geq 2$ possède un diviseur premier (**Théorème 1 (existence d'un diviseur premier)**), celui-ci est absent de la liste : contradiction. On ne prouve pas que $N$ est premier : $2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 + 1 = 30031 = 59 \times 509$.

Question 7 : Quel est le reste de la division euclidienne de $5^{13}$ par $13$ ?

• $0$
• $1$
• ✓ $5$
• $12$

Explication : **Méthode 5 — calculer un reste avec le petit théorème de Fermat** : $13$ est premier, donc d'après le **Théorème 7 (petit théorème de Fermat)**, $a^{13} \equiv a \ [13]$ pour tout entier $a$ ; ainsi $5^{13} \equiv 5 \ [13]$ : option C. On peut aussi écrire $5^{13} = 5^{12} \times 5 \equiv 1 \times 5 \ [13]$ puisque $5^{12} \equiv 1 \ [13]$ ($13 \nmid 5$).

Question 8 : Laquelle de ces affirmations est vraie ?

• ✓ Tout entier $n \geq 2$ admet au moins un diviseur premier
• Si $2^{n-1} \equiv 1 \ [n]$, alors $n$ est premier
• Tout entier impair est premier ou produit de deux nombres premiers
• La somme de deux nombres premiers est toujours paire

Explication : C'est le **Théorème 1 (existence d'un diviseur premier)** : le plus petit diviseur de $n$ supérieur à $1$ est premier : option A. Contre-exemples pour les autres : $2^{340} \equiv 1 \ [341]$ mais $341 = 11 \times 31$ — la réciproque du **Théorème 7 (petit théorème de Fermat)** est fausse (voir la **Méthode 6 — montrer qu'un entier n'est pas premier avec un témoin de Fermat**) ; $105 = 3 \times 5 \times 7$ ; $2 + 3 = 5$ est impair.

Question 9 : Le tableau représente le crible d'Ératosthène de 2 à 31, après élimination des multiples de 2 et de 3 (marqués par un tiret). Parmi les nombres restants, lequel n'est pas premier ?

• $23$
• ✓ $25$
• $29$
• $31$

Explication : **Méthode 2 — dresser la liste des premiers par le crible d'Ératosthène** : après les multiples de $2$ et de $3$, on barre ceux de $5$ à partir de $5^2 = 25$ : c'est $25$ qui figure encore dans le tableau sans être premier : option B. Les nombres $23$, $29$ et $31$ sont premiers, et comme $7^2 = 49 > 31$, le crible se termine après l'étape du $5$ (c'est le **Théorème 2 (critère de primalité)** qui justifie cet arrêt).

Question 10 : Question type bac. Soit $p$ un nombre premier supérieur ou égal à 5. Alors $p^2 - 1$ est toujours divisible par :

• ✓ $24$
• $10$
• $16$
• $48$

Explication : On factorise : $p^2 - 1 = (p - 1)(p + 1)$. $p$ étant impair, $p - 1$ et $p + 1$ sont deux pairs consécutifs, l'un divisible par $4$ : le produit est divisible par $8$. Parmi les trois entiers consécutifs $p - 1, p, p + 1$, l'un est multiple de $3$, et ce n'est pas $p$ (premier $\geq 5$) : le produit est divisible par $3$. Divisible par $8$ et par $3$, qui sont premiers entre eux, il l'est par $24$ — conséquence du **Théorème 4 (corollaire de Gauss)** : option A. Contre-exemple pour les autres : $5^2 - 1 = 24$ n'est divisible ni par 10, ni par 16, ni par 48.