Quiz — Probabilités – Échantillonnage

Question 1 : On lance un dé équilibré à $6$ faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de $3$ ?

• $\dfrac{1}{6}$
• $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{2}{3}$
• ✓ $\dfrac{1}{3}$

Explication : Les multiples de $3$ dans $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ sont $3$ et $6$ : deux issues favorables sur six équiprobables, $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Question 2 : Une urne contient $3$ boules rouges, $5$ bleues et $2$ vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle ne soit pas bleue ?

• ✓ $\dfrac{1}{2}$
• $\dfrac{3}{10}$
• $\dfrac{2}{10}$
• $\dfrac{3}{5}$

Explication : $P(\text{bleue}) = \frac{5}{10}$, donc $P(\text{non bleue}) = 1 - \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$. On peut aussi compter directement $3 + 2 = 5$ boules non bleues sur $10$.

Question 3 : $A$ et $B$ sont deux événements avec $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$ et $P(A \cap B) = 0{,}15$. Que vaut $P(A \cup B)$ ?

• $0{,}9$
• $0{,}2$
• $0{,}65$
• ✓ $0{,}75$

Explication : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}15 = 0{,}75$. Additionner sans retrancher l'intersection compte deux fois les issues communes.

Question 4 : Dans un lycée de $500$ élèves, $300$ sont des filles ; $120$ filles et $60$ garçons sont internes. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il soit interne sachant que c'est une fille ?

• $\dfrac{120}{500} = 0{,}24$
• ✓ $\dfrac{120}{300} = 0{,}4$
• $\dfrac{120}{180} \approx 0{,}67$
• $\dfrac{180}{500} = 0{,}36$

Explication : On se restreint aux $300$ filles ; parmi elles, $120$ sont internes : $P_F(I) = \frac{120}{300} = 0{,}4$. L'option $\frac{120}{180}$ est $P_I(F)$, la probabilité d'être une fille sachant qu'on est interne.

Question 5 : Avec le même tableau, quelle est la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'il est interne ?

• $0{,}4$
• $0{,}24$
• ✓ $\dfrac{2}{3}$
• $0{,}6$

Explication : Parmi les $180$ internes, $120$ sont des filles : $P_I(F) = \frac{120}{180} = \frac{2}{3}$. On voit que $P_I(F) \neq P_F(I)$ : les deux conditionnements ne se confondent pas.

Question 6 : Sur l'arbre pondéré ci-dessous, quelle est la probabilité de l'événement $A \cap B$ ?

• $0{,}3 + 0{,}8 = 1{,}1$
• ✓ $0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24$
• $0{,}8$
• $0{,}3 \times 0{,}2 = 0{,}06$

Explication : Le chemin $A$ puis $B$ a pour probabilité le produit des branches : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) = 0{,}3 \times 0{,}8 = 0{,}24$. Une somme supérieure à $1$ ne peut jamais être une probabilité.

Question 7 : Sur ce même arbre, que représente le nombre $0{,}5$ écrit sur la branche $\bar{A} \to B$ ?

• $P(B)$
• $P(\bar{A} \cap B)$
• ✓ $P_{\bar{A}}(B)$
• $P_B(\bar{A})$

Explication : Les branches de second niveau portent des probabilités conditionnelles : $0{,}5 = P_{\bar{A}}(B)$, probabilité de $B$ sachant $\bar{A}$. Pour obtenir $P(\bar{A} \cap B)$, il faudrait multiplier par $0{,}7$.

Question 8 : Un test de dépistage est positif pour $90\,\%$ des malades. Un patient est testé positif. Peut-on affirmer qu'il a $90\,\%$ de chances d'être malade ?

• Oui, c'est ce que dit l'énoncé
• ✓ Non : $90\,\%$ est $P_{M}(T)$, alors qu'on demande $P_{T}(M)$, qui dépend aussi de la fréquence de la maladie
• Oui, car un test est symétrique
• Non : la probabilité est $10\,\%$

Explication : L'énoncé donne $P_M(T) = 0{,}9$ (test positif sachant malade). La question porte sur $P_T(M)$ (malade sachant test positif). Si la maladie est rare, la plupart des tests positifs sont des faux positifs et $P_T(M)$ peut être très faible. Il faut un tableau d'effectifs complet pour la calculer.

Question 9 : On lance $1000$ fois une pièce équilibrée et on obtient $482$ « pile ». Quelle conclusion est correcte ?

• La pièce est truquée car on n'a pas $500$ pile
• La probabilité de pile est exactement $0{,}482$
• ✓ La fréquence $0{,}482$ est proche de $0{,}5$ : c'est cohérent avec la loi des grands nombres et la fluctuation d'échantillonnage
• Sur les $1000$ prochains lancers, on aura plus de pile pour compenser

Explication : La fréquence observée fluctue d'un échantillon à l'autre ; $0{,}482$ est proche de la probabilité $0{,}5$. On n'attend pas exactement $500$ pile, et les lancers suivants ne « compensent » pas : la pièce n'a pas de mémoire.

Question 10 : On simule avec Python `randint(1, 6)` un grand nombre de lancers de dé. Quelle affirmation est vraie ?

• Sur $60$ lancers, on obtient exactement $10$ fois chaque face
• La fréquence du $6$ sur $10$ lancers est plus stable que sur $10\,000$ lancers
• La fréquence du $6$ finit par valoir exactement $\frac{1}{6}$
• ✓ Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence du $6$ a tendance à se stabiliser autour de $\frac{1}{6}$

Explication : C'est la loi des grands nombres : les fréquences fluctuent beaucoup pour un petit nombre de lancers, et se rapprochent de la probabilité $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ quand le nombre de lancers augmente, sans jamais être garanties exactes.